在路上---學習篇（一）Python 資料結構和演算法 （5）二分尋找、二叉樹遍曆

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獨白：

　　利用演算法進行尋找指定元素，最近學習二分尋找和二叉樹遍曆。二分尋找前提是在有序中進行尋找，二叉樹引入了樹的概念。樹的概念其中有許多小知識點，也是一種新的資料結構。還是之前的感悟，需瞭解其本質才會寫出更好的演算法。

 

 

二分尋找

　　二分尋找又稱折半尋找，優點是比較次數少，尋找速度快，平均效能好；其缺點是要求待查表為有序表，且插入刪除困難。因此，折半尋找方法適用於不經常變動而尋找頻繁的有序列表。首先，假設表中元素是按升序排列，將表中間位置記錄的關鍵字與尋找關鍵字比較，如果兩者相等，則尋找成功；否則利用中間位置記錄將表分成前、後兩個子表，如果中間位置記錄的關鍵字大於尋找關鍵字，則進一步尋找前一子表，否則進一步尋找後一子表。重複以上過程，直到找到滿足條件的記錄，使尋找成功，或直到子表不存在為止，此時尋找不成功。

 

‘‘‘二分尋找時間複雜度:O(logn)‘‘‘‘‘‘前提是在一個有序的列表‘‘‘import time## def binary_search(list, item):#     ‘‘‘ 非遞迴實現 ‘‘‘##     first = 0#     last = len(list) - 1#     while first <= last :#         midpoint = ( first + last ) // 2#         if list[midpoint] == item:#             return True#         elif item < list[midpoint]:#             last = midpoint - 1#         else:#             first = midpoint + 1#     return Falsedef binary_search(list, item):    """ 遞迴實現 """    print(list)    if len(list) == 0:        return False    else:        midpoint = len(list) // 2        if list[midpoint] == item:            return True        else:            if list[midpoint] > item:                return binary_search(list[:midpoint], item)            else:                return binary_search(list[midpoint + 1:], item)if __name__ == ‘__main__‘:    # 開始時間    first_time = time.time()    # 建立個有序的列表    lis = [1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 17, 156, 678]    # 列表排序    print(binary_search(lis, 6))    # 結束時間    last_time = time.time()    print("共用時%s" % (last_time - first_time))

 

 

 

樹與樹演算法樹的概念

樹（英語：tree）是一種抽象資料類型（ADT）或是實作這種抽象資料類型的資料結構，用來類比具有樹狀結構性質的資料集合。它是由n（n>=1）個有限節點群組成一個具有層次關係的集合。把它叫做“樹”是因為它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。它具有以下的特點： 

• 每個節點有零個或多個子節點； 
• 沒有父節點的節點稱為根節點； 
• 每一個非根節點有且只有一個父節點； 
• 除了根節點外，每個子節點可以分為多個不相交的子樹；

樹的術語

• 節點的度：一個節點含有的子樹的個數稱為該節點的度；
• 樹的度：一棵樹中，最大的節點的度稱為樹的度；
• 分葉節點或終端節點：度為零的節點；
• 父親節點或父節點：若一個節點含有子節點，則這個節點稱為其子節點的父節點；
• 孩子節點或子節點：一個節點含有的子樹的根節點稱為該節點的子節點；
• 兄弟節點：具有相同父節點的節點互稱為兄弟節點；
• 節點的層次：從根開始定義起，根為第1層，根的子節點為第2層，以此類推；
• 樹的高度或深度：樹中節點的最大層次；
• 堂兄弟節點：父節點在同一層的節點互為堂兄弟；
• 節點的祖先：從根到該節點所經分支上的所有節點；
• 子孫：以某節點為根的子樹中任一節點都稱為該節點的子孫。
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的樹的集合稱為森林；

樹的種類

• 無序樹：樹中任意節點的子節點之間沒有循序關聯性，這種樹稱為無序樹，也稱為自由樹；
• 有序樹：樹中任意節點的子節點之間有循序關聯性，這種樹稱為有序樹；
  • 二叉樹：每個節點最多含有兩個子樹的樹稱為二叉樹； 
    • 完全二叉樹：對於一顆二叉樹，假設其深度為d(d>1)。除了第d層外，其它各層的節點數目均已達最大值，且第d層所有節點從左向右連續地緊密排列，這樣的二叉樹被稱為完全二叉樹，其中滿二叉樹的定義是所有分葉節點都在最底層的完全二叉樹; 
    • 平衡二叉樹（AVL樹）：若且唯若任何節點的兩棵子樹的高度差不大於1的二叉樹； 
    • 排序二叉樹（二叉尋找樹（英語：Binary Search Tree），也稱二叉搜尋樹、有序二叉樹）； 
  • 霍夫曼樹（用於資訊編碼）：帶權路徑最短的二叉樹稱為哈夫曼樹或最優二叉樹；
  • B樹：一種對讀寫操作進行最佳化的自平衡的二叉尋找樹，能夠保持資料有序，擁有多餘兩個子樹

 

二叉樹的基本概念

二叉樹是每個節點最多有兩個子樹的樹結構。通常子樹被稱作“左子樹”（left subtree）和“右子樹”（right subtree） 

二叉樹的性質(特性)

性質1: 在二叉樹的第i層上至多有2^(i-1)個結點（i>0）
性質2: 深度為k的二叉樹至多有2^k - 1個結點（k>0）
性質3: 對於任意一棵二叉樹，如果其葉結點數為N0，而度數為2的結點總數為N2，則N0=N2+1;
性質4:具有n個結點的完全二叉樹的深度必為 log2(n+1)
性質5:對完全二叉樹，若從上至下、從左至右編號，則編號為i 的結點，其左孩子編號必為2i，其右孩子編號必為2i＋1；其雙親的編號必為i/2（i＝1 時為根,除外）

class Node(object):    ‘‘‘節點類‘‘‘    def __init__(self, elem, lchild = None, rchild = None):        self.elem = elem        self.lchild = lchild        self.rchild = rchildclass Tree(object):    ‘‘‘樹類‘‘‘    def __init__(self, root = None):        self.root = root    def add(self, elem):        ‘‘‘為樹添加節點‘‘‘        node = Node(elem)        # 如果是空樹，對根節點進行賦值        if self.root == None:            self.root = node            return        else:            queue = []            queue.append(self.root)            # 對已有節點進行層次遍曆            while queue:                # 彈出隊列的第一個元素                cur = queue.pop(0)                if cur.lchild is None:                    cur.lchild = node                    return                elif cur.rchild is None:                    cur.rchild = node                    return                else:                    # 如果左右節點不為空白，排入佇列繼續判斷                    queue.append(cur.lchild)                    queue.append(cur.rchild)

 

 

二叉樹的遍曆

樹的遍曆是樹的一種重要的運算。所謂遍曆是指對樹中所有結點的資訊的訪問，即依次對樹中每個結點訪問一次且僅訪問一次，我們把這種對所有節點的訪問稱為遍曆（traversal）。那麼樹的兩種重要的遍曆模式是深度優先遍曆和廣度優先遍曆,深度優先一般用遞迴，廣度優先一般用隊列。一般情況下能用遞迴實現的演算法大部分也能用堆棧來實現。

 

深度優先遍曆

對於一顆二叉樹，深度優先搜尋(Depth First Search)是沿著樹的深度遍曆樹的節點，儘可能深的搜尋樹的分支。
那麼深度遍曆有重要的三種方法。這三種方式常被用於訪問樹的節點，它們之間的不同在於訪問每個節點的次序不同。這三種遍曆分別叫做先序遍曆（preorder），中序遍曆（inorder）和後序遍曆（postorder）。我們來給出它們的詳細定義，然後舉例看看它們的應用。

• 先序遍曆 在先序遍曆中，我們先訪問根節點，然後遞迴使用先序遍曆訪問左子樹，再遞迴使用先序遍曆訪問右子樹
  根節點->左子樹->右子樹

 

def preorder(self, root):    """遞迴實現先序遍曆"""    if root == None:        return    print(root.elem)    self.preorder(root.lchild)    self.preorder(root.rchild)

 

 

• 中序遍曆 在中序遍曆中，我們遞迴使用中序遍曆訪問左子樹，然後訪問根節點，最後再遞迴使用中序遍曆訪問右子樹                                 左子樹->根節點->右子樹

 

def inorder(self, root):    """遞迴實現中序遍曆"""    if root == None:        return    self.inorder(root.lchild)    print(root.elem)    self.inorder(root.rchild)

 

 

• 後序遍曆 在後序遍曆中，我們先遞迴使用後序遍曆訪問左子樹和右子樹，最後訪問根節點                                                                               左子樹->右子樹->根節點

 

def postorder(self, root):    """遞迴實現後續遍曆"""    if root == None:        return    self.postorder(root.lchild)    self.postorder(root.rchild)    print (root.elem)

 

 

廣度優先遍曆(層次遍曆)

從樹的root開始，從上到下從從左至右遍曆整個樹的節點

 

def breadth_travel(self, root):    """利用隊列實現樹的層次遍曆"""    if root == None:        return    queue = []    queue.append(root)    while queue:        node = queue.pop(0)        print (node.elem)        if node.lchild != None:            queue.append(node.lchild)        if node.rchild != None:            queue.append(node.rchild)

 

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