0-1背包問題；動態規劃；時間複雜度O(n方)；給出最大價值與解得情況；內有動態規劃思路總結；

#include <iostream><br />using namespace std;</p><p>//動態規劃：0-1背包問題<br />//bestValue[i][j]=max ( bestValue[i+1][j-w[i]]+v[i] ,bestValue[i+1][j] ) w[i]<=j<br />//bestValue[i][j]=bestValue[i+1][j] w[i]>j</p><p>class Knapsack<br />{<br />private:<br />int *weight;//物品重量數組<br />int *value;//物品價值數組<br />int numOfItems;//物品數量<br />int bagSpace;//背包容量<br />int **bestValue;//動態規劃表格，記錄bestValue[i][j]的價值，為最優價值，i表示物品i...n裝入容量為j的背包能達到的最大價值<br />int **path;//為了求出取得最優值時的解，記錄動態規劃表不同表項的選擇與否<br />public:<br />//建構函式<br />Knapsack(int numOfItems,int bagSpace)<br />{<br />weight=new int[numOfItems+1];<br />value=new int[numOfItems+1];<br />this->bagSpace=bagSpace;<br />this->numOfItems=numOfItems;</p><p>bestValue=new int* [numOfItems+1];<br />for(int i=0;i<numOfItems+1;i++)<br />{<br />bestValue[i]=new int[bagSpace+1];<br />}</p><p>path=new int* [numOfItems+1];<br />for(int i=0;i<numOfItems+1;i++)<br />{<br />path[i]=new int[bagSpace+1];<br />}<br />}<br />//輸入物品的重量與價值<br />void input()<br />{<br />int i=1;<br />while(i<=numOfItems)<br />{<br />cout<<"輸入第"<<i<<"個物品的重量"<<endl;<br />cin>>weight[i];<br />cout<<"輸入第"<<i<<"個物品的價值"<<endl;<br />cin>>value[i];<br />++i;<br />}<br />}<br />//動態規劃核心演算法<br />void knapsack()<br />{<br />//初始化遞迴最底層,即將bestValue[n][0:c]進行初始化<br />for(int i=0;i<=bagSpace;i++)<br />{<br />if(weight[numOfItems]<=i)<br />{<br />bestValue[numOfItems][i]=value[numOfItems];<br />path[numOfItems][i]=1;<br />}<br />else<br />{<br />bestValue[numOfItems][i]=0;<br />path[numOfItems][i]=0;<br />}<br />}<br />//遞推的進行動態規劃，自底向上，最終bestValue[1][bageSpace]為1-n物品放入容量bagSpace內的最大價值<br />for(int k=numOfItems-1;k>=1;k--)<br />{<br />for(int j=0;j<=bagSpace;j++)<br />{<br />bestValue[k][j]=bestValue[k+1][j];<br />path[k][j]=0;//不放入的情況<br />if(weight[k]<=j)//如果容量足夠放入當前物品<br />{<br />if(bestValue[k+1][j-weight[k]]+value[k]>bestValue[k][j])//如果放入的價值大於不放的價值<br />{<br />bestValue[k][j]=bestValue[k+1][j-weight[k]]+value[k];<br />path[k][j]=1;//那麼就選擇放入<br />}<br />}<br />}<br />}<br />}<br />//輸出最大價值，並且輸出選擇方式<br />void display()<br />{<br />//列印出bestValue[1][bagSpace],表示1...numOfItems的物品裝入容量為bagSpace的最大價值<br />int i=1;<br />int j=bagSpace;<br />cout<<"最大價值為"<<bestValue[1][j]<<endl;<br />//根據path[1][bagSpace]的記錄開始，遞迴到path[n][某容量],從而列印出每個物品是否被選擇進入背包<br />while(i<=numOfItems)<br />{<br />if(path[i][j]==0)//如果i物品沒被放入，看i+1個物品裝入容量j背包<br />{<br />++i;<br />}<br />else<br />{<br />cout<<"<重量:"<<weight[i]<<"，價值:"<<value[i]<<">"endl;<br />j-=weight[i];<br />++i;<br />}<br />}<br />}<br />};</p><p>void main()<br />{<br />Knapsack test(5,50);//5個物品，背包容量50<br />test.input();//輸入5個物品的價值與重量<br />test.knapsack();//動態規劃<br />test.display();//列印選擇與最大價值<br />}

 

 

思路總結： 看到一個題目，首先看問什麼，下面以此題舉例分析一下。

0-1背包問題

1，問題要求什嗎？ 
答：求把n個物品放入容量C的背包內能達到的最大價值

2，轉換成一個抽象一點的數學運算式是什嗎？ 
答：bestValue[n][C]，表示n個物品放入容量C的背包的最大價值

3，不考慮演算法應該怎麼選擇，我們實際去解決這個問題的時候，是從哪裡開始去做的？
答：我們有n個物品，C容量背包。  於是我們開始解決問題，我先放第一個物品，如果能放進去，我就放進去，當然，我也可以不放。
第一個物品處理結束以後，我們著手於第二個物品，能放進去就放進去，當然，我們也可以不放。 
所以，這就是一個決策問題，決策是從我們實際處理問題中抽象出來的，我們放物品的時候只能一個一個放，決策是放或者不放。

4，在決策瞭解的情況，我們應該考慮當前要求的bestValue[n][C]，在決策放入或者不放入的情況，分別等於什麼?
答：如果能夠放入，那麼我們的背包還有C-w[i], 物品還有n-1個，當然，我們也可以選擇不放進去，那麼我們背包依舊有C容量，物品還有n-1個。 所以我們修改一下我們對bestValue[n][C]的定義，從而就得到了一個最優子結構的遞迴公式。

為了我們決策的進行，即我們每次決策都是最第i個物品進行決策，所以bestValue[n][C]修改為best[i][C],表示i,i+1,i+2...n個物品放入容量為C的背包的最大價值。

所以：bestValue[i][j]=max ( bestValue[i+1][j-w[i]]+v[i] ,bestValue[i+1][j] )  w[i]<=j
         bestValue[i][j]=bestValue[i+1][j]        w[i]>j

意思是：
如果當前容量j裝不下物品i，那麼i到n裝入j的最大價值就等於i+1到n裝入j的最大價值，就是公式的第二行。
如果當前容量j可以裝下物品i，那麼我們可以裝進去，當然，也可以犯賤，不裝進去，看看結果如何，所以i到n個物品裝入j容量背包的最大價值就等於 i+1到n物品裝入j-w[i]容量的背包可以達到的最大價值+value[i] ，i+1到n物品裝入j容量背包的最大價值，這兩種不同決策的一個最大值。

總結：解決什麼?  從哪裡開始做起？  有哪些決策？  決策後會怎麼樣？

 

找出了遞迴式，它具有最優子結構性質，即可以簡單的理解為：當前的最優產生於子問題的最優，然後子問題的最優不受當前最優的影響，並且通過觀察遞迴公式，應該找到遞迴的最底層的i,j分別是什麼，我們觀察到i在逐漸增加，j在逐漸減小，所以我們在遞推的時候，首先把最底層進行初始化，然後利用遞迴公式向上遞推。 所以我們需要首先初始化bestValue[n][0:C],即記錄第n個物品裝入0到C的背包的能達到的價值，當w[n]<=j時，bestValue[n][j]等於value[n]，如果w[n]>j,即容量不夠，那麼就是0.

 

我們能夠從底向上遞推的重要原因就是：最優子結構+無後效性 。 多多體會吧。 這是基礎理解了。