2016級演算法第三次上機-C.AlvinZH的奇幻猜想——三次方

標籤：貪心   eof   ++i   封裝   mission   lin   miss   越界   數值   

905 AlvinZH的奇幻猜想——三次方思路

中等題。題意簡單，題目說得簡單，把一個數分成多個立方數的和，問最小立方數個數。

腦子轉得快的馬上想到貪心，從最近的三次方數往下減，反正有1^3在最後撐著保證減完。不好意思這是錯的，因為1,27,64,125...等立方數之間並不是倍數關係，不能構成貪心策略。舉個反例：96=64+8+8+8+8=64+27+1+1+1+1+1，答案明顯是5，而貪心會算到7。

既然不是貪心，那就是DP了，沒毛病。先講一下常規做法吧，是這樣想的：相當於把一個數化成幾份，求最小劃分的份數，那麼把所求數看成背包的總體積，每個立方數的值看作每個物品的體積，價值都看做1，問題就轉化為完全背包（因為每個立方數可以取多次）恰好裝滿求最小的價值，仔細想想。

所以，套一下完全背包的板子吧，但是，這裡的一個問題是完全背封裝滿，這怎麼辦呢（可能由於本題可以保證裝滿這個問題不怎麼顯眼）。舉一反三，假設有可能裝不滿，怎麼辦？這個問題初始化dp數組時就可以解決。以下方法對於01背包同樣適用：

• 普通01背包or完全背包：初始化為0；
• 01背包or完全背封裝滿求價值最小：初始化為一個大數值如 \(INF\) (0x3f3f3f3f)；
• 01背包or完全背封裝滿求價值最大：初始化為一個小數值如 \(-INF\) (-0x3f3f3f3f)；

為什麼呢？對於本題，初始化為大數值，如果沒裝滿，最後dp[n]會依然是INF，因為我們每次比較取的都是較小值。第二次練習賽的G題就是01背封裝滿求最大價值，初始化為最小值即可。（熬夜寫了這麼多，希望大家看得到QAQ）

這題還有另外的解法，那就是類似打表，先把所有數的最小立方個數通過迭代計算得到，然後 \(O(1)\) 時間取得答案。具體可見隊列迭代的參考代碼二以及for迴圈迭代的參考代碼三。其實這裡面也是有DP的思想，因為每次迭代會用到之前的結果，對於多組資料來講，同樣可以節省時間。簡單易懂，可以學習一下。

分析

對於完全背包直接解法，時間複雜度為 \(O(V*∑(V/wi))\) 。

迭代的話複雜度差不了多少，由於多組資料的原因，迭代打表運行總時間顯得更短些，不糾結這個。

擴充：完全背封裝滿問題：HDU 1114。

參考代碼一：完全背封裝滿求最小价值

//// Created by AlvinZH on 2017/10/24.// Copyright (c) AlvinZH. All rights reserved.//#include <cstdio>#include <cstring>#define INF 0x3f3f3f3f#define MaxSize 1000005int weight[105];int ans[MaxSize];int main(){    for (int i = 1; i < 105; ++i)        weight[i] = i * i * i;    int n;    while(~scanf("%d", &n))    {        for (int i = 0; i <= n; ++i)//初始化為最大值            ans[i] = INF;        ans[0] = 0;        for (int i = 0; i < 105; ++i) {            for (int j = weight[i]; j <= n; ++j) {                if(ans[j] > ans[j-weight[i]] + 1)                    ans[j] = ans[j-weight[i]] + 1;            }        }        if(ans[n] == n) printf("Oh NO!\n");        else printf("%d\n", ans[n]);    }}/* * 完全背包恰好裝滿問題，求最小值。 */

參考代碼二：隊列迭代

//// Created by AlvinZH on 2017/10/24.// Copyright (c) AlvinZH. All rights reserved.//#include <cstdio>#include <cstring>#include <queue>#define INF 0x3f3f3f3f#define MaxSize 1000005using namespace std;int weight[105];int ans[MaxSize];queue<int> Q;void init(){    memset(ans, INF, sizeof(ans));    for (int i = 1; i < 105; ++i)        weight[i] = i * i * i;    for (int i = 1; i <= 100; ++i) {        ans[weight[i]] = 1;        Q.push(weight[i]);    }    while(!Q.empty())    {        int w = Q.front();        Q.pop();        for (int i = 1; i <= 100; ++i) {            int num = weight[i] + w;            if(num > 1000000) break;            if(ans[num] < INF) continue;            ans[num] = ans[w] + 1;            Q.push(num);        }    }}int main(){    init();    int n;    while(~scanf("%d", &n))    {        if(ans[n] == n) printf("Oh NO!\n");        else printf("%d\n", ans[n]);    }}/* * 思路：直接寬搜，把最開始的數扔進隊列，反覆用隊列中的數去更新沒更新的數就行了，注意數組別越界。 */

參考代碼三：for迴圈迭代

/* Author: 曾宥崴(13422) Result: AC Submission_id: 391756 Created at: Fri Nov 10 2017 18:26:40 GMT+0800 (CST) Problem: 905   Time: 353   Memory: 6612*/#include <cstdio>#include <algorithm>#include <iostream>using namespace std;int f[1000001],n;int main(){    for (int i = 1; i <= 1000000; i++) f[i] = 1000000000;    f[0] = 0;    for (int i = 0; i <= 1000000; i++)        for (int k = 1; i + k * k * k <= 1000000; k++)            f[i+k*k*k] = min(f[i+k*k*k],f[i] + 1);    while (scanf("%d",&n) != EOF)        if (f[n] == n) printf("Oh NO!\n");        else printf("%d\n",f[n]);    return 0;}

2016級演算法第三次上機-C.AlvinZH的奇幻猜想——三次方