3D遊戲與電腦圖形學中的數學方法-點線面

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《易傳·繫辭上傳》:”易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。”

借用一下古代先人們的智慧引一下本文的主題-三維圖形中的點線面，在三維幾何中也有一句話可以和上面的話相對應：由點成線，由線成面，由面成體，由體成形。

點向量和方向向量

首先我們要明確在三維空間中表示點的點向量和表示方向的方向向量的區別，例如A（x,y,z）可以表示一個點向量，而OA（x,y,z）就表示一個方向向量。方向向量在平移過程中將保持不變。

3D空間中的直線

3維空間中有兩個點P1和P2，那麼通過這兩個點的直線可以定義為：P(t) = (1-t)P1 + tP2，其中t可以是任意實數。P1和P2之間的線段對應於t在0到1之間的值。

射線是指只有一個端點並且在給定方向V上無限延伸的直線。射線的參數方程為：P(t) = P0+tV，其中t的值大於0。

可以看出，無論是直線還是射線，都可以由一個點加上指向而構成的。

兩條直線的關係

在同一平面裡的兩條直線，它們的關係有兩種，相交或者平行。當然重合也是包含在相交裡面的。

但是在三維世界裡，加入了空間的概念，所以兩條直線的關係又增加了一種，那就是異面。

兩條直線如下所示：

P(s) = P0+sVP

Q(t)=Q0+tVQ

其中s和t可以是任意實數。

3D空間中的平面

對於給定的3D點P0和法向量N，那麼經過P0且與N垂直的平面可以定義為滿足方程N.(P-P0)=0的點的集合。如所示：

平面方程可以表示為Ax+By+Cz+D=0 ,   其中A,B,C是法向量N的x，y，z的分量，D = -N . P0 。

平面與直線的關係

（1）直線在平面內 即直線和平面有無數個公用點。

（2）直線和平面相交 即直線和平面有且只有一個公用點（垂直也是一種相交）。

（3）直線和平面平行 即直線和平面沒有公用點。

平面與平面的關係

在3維空間中平面和平面之間的關係就類似於2維空間中直線和直線的關係：

（1）兩個平面相交（重合是一種特殊的相交）。

（2）兩個平面平行。

 

3D遊戲與電腦圖形學中的數學方法-點線面