5§7 二次曲線方程的化簡與分類

§7 二次曲線方程的化簡與分類

一 方程的化簡：

1 中心曲線方程的化簡：

對中心曲線F（x,y）=0，令O′（，）為其中心，若將座標原點平移至O′，則新方程中將不含一次項，再選取適當的θ角，作旋轉變換，還可消去方程中的交叉乘積項，最終中心曲線的方程可化簡為

（1）

由於， ∴全不為0，從而中心曲線（1）關於新系的x′，

y′軸對稱，即以中心曲線的二主直徑作為座標軸建立新座標系時，則曲線的方程便簡化為（1）

例1：化簡二次曲線方程x²-xy+y²+4x-2y=0

解：所給二次曲線的二主直徑為x+y+2=0 ，x-y+2=0

取座標變換公式

即

代入原方程有x′²+3y′²-8=0

即

2 無心曲線方程的化簡：

對無心曲線F（x,y）=0，選取適當的θ角作旋轉變換，可消去方程中的交叉乘積項，即

方程簡化為

由於 ∴有且僅有一為0，不妨設=0 ，再配方有

作平移

則方程最終簡化為

（2）

由於 ∴

從而無心曲線（2）關於x″軸對稱，即x″軸是其一主直徑，且x″州與曲線的交點是新座標系的座標原點。

可見以無心曲線的主直徑作為x′軸，以過頂點且與主直徑垂直的直線作為y′軸建立新系，則曲線的方程便簡化為（2）

例2：化簡二次曲線方程x²+2xy+y²+2x-2y=0

解：所給曲線的一主直徑為x+y=-0，曲線的頂點為原點，取過頂點且與主直徑垂直的直線x-y=0，並取座標變換，為

即

代入原方程並化簡為

3 線心曲線方程的化簡：

對於線心曲線F（x,y）=0，取一中心（，），並作平移變換即可消去方程中的一次項，再選取適當的α角作旋轉變換，還可消去交叉乘積項，最終方程簡化為

由於 ∴有且僅有一為0，不妨設，則線心曲線方

程化簡為 （3）

由於，∴曲線（3）關於x′軸對稱，可見新座標系的x′軸是其主直徑，即以曲線的一主直徑作為x′軸建立新座標系，則在新系下，曲線的方程將簡化為（3）

例3：化簡二次曲線方程 x²-2xy+y²+2x-2y=0

解：可以驗證所給曲線是線心曲線，其主直徑為x-y+1=0 再取一與主直徑垂直的直線x+y=0，作座標變換

即

代入原方程並化簡得

總結上述化簡二次曲線方程的方法，可得如下結論：

選取適當座標系，可使

中心二次曲線的方程的化簡為

無心二次曲線的方程的化簡為

線心二次曲線的方程的化簡為

二 二次曲線的分類：

1°對於中心曲線，其方程可化簡為（I）

當 ，令

A=，B=，則（I）為 Ax²+By²=1

若A，B>0，令A= ，B=，則（I）為

[1] ——橢圓

若A，B<0，令A=-，B=-，則（I）為

[2] ————虛橢圓

若A>0，B<0,令A=，B=-，則（I）為

[3] ————雙曲線

同理當A<0，B>0時，也是雙曲線

當時，令A=，B=，則（I）為

[4] ———— 一點

同理，若A，B<0,則（I）也為一點

若A>0,B<0，令A=，B=-，則（I）為

[5] —————二相交直線

同理 若A<0，B>0,則（I）也為二相交直線。

2°對於無心曲線，其方程可化簡為（II），令

P= ，則（II）為

[6] y²=2Px ——————拋物線

對於線心曲線，其方程可化簡為（III），令

k= ，則（III）為 y²=k

若k>0，則（III）為

[7]y²=a² ————————二平行直線，

若k<0，則（III）為

[8]y²=-a² ————————二平行直線，

若k=0，則（III）為

[9]y²=0 ————————二重合直線。