51nod-1363: 最小公倍數之和

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【傳送門：51nod-1363】簡要題意：

　　給出一個數n，求出1到n的數與n的最小公倍數的和

　　多組資料

題解：

　　理所當然推柿子

　　原題相當於求$\sum_{i=1}^{n}\frac{i*n}{gcd(i,n)}$

　　先枚舉d=gcd(i,n)，然後化簡得到$$n*\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}i[gcd(i,\frac{n}{d})==1]$$

　　相當於求1到n-1中，與n互質的數和，設y<x，如果gcd(y,x)==1，那麼gcd(x-y,x)==1，兩式的貢獻就是x了

　　所以1到n-1中，與n互質的數和為$\frac{\phi(n)*n}{2}$，特殊的，如果n=1，則數和為1

　　那麼原式就等於$$n*\sum_{d|n且d不為n}\frac{\frac{n}{d}*\phi(\frac{n}{d})}{2}+1$$

　　再化簡得到$$n+\frac{n}{2}\sum_{d|n且d>1}d*phi(d)$$

　　這樣，這個式子就變成$O(\sqrt{n})$，但是多組資料仍會逾時

　　實際上我們將n質因數分解得到$n=\prod_{i=1}^{x}p[i]^a[i]$

　　因為p[i]兩兩互質，所以可以轉化為$$n+\prod_{i=1}^{x}\sum_{j=0}^{a[i]}\phi(p[i]^j)*p[i]^j$$

　　根據歐拉函數的性質可以得到$$n+\prod_{i=1}^{x}1+\sum_{j=1}^{a[i]}(p[i]-1)*p[i]^{2j-1}$$

　　再根據等比數列求和公式得到$$n+\prod_{i=1}^{x}1+(p[i]-1)*\frac{p[i]^{2*a[i]+1}-p[i]}{p[i]^2-1}$$

　　$$n+\prod_{i=1}^{x}1+\frac{p[i]^{2*a[i]+1}-p[i]}{p[i]+1}$$

　　然後線篩素數加速質因數分解就可以過了，記得最後處理1的情況

參考代碼：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long LL;LL Mod=1e9+7;int prime[110000],m,v[110000];void pre(int n){    m=0;    for(int i=2;i<=n;i++)    {        if(v[i]==0)        {            v[i]=i;            prime[++m]=i;        }        for(int j=1;j<=m;j++)        {            if(prime[j]>n/i||prime[j]>v[i]) break;            v[i*prime[j]]=prime[j];        }    }}LL p_mod(LL a,LL b){    LL ans=1;    while(b!=0)    {        if(b%2==1) ans=ans*a%Mod;        a=a*a%Mod;b/=2;    }    return ans;}int main(){    //freopen("a.in","r",stdin);    //freopen("a.out","w",stdout);    pre(100000);    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        int n;        scanf("%d",&n);        LL ans=1,d=n;        for(int i=1;i<=m&&prime[i]<=n/prime[i];i++)        {            LL p=prime[i];            if(n%p==0)            {                LL s=0;                while(n%p==0) s++,n/=p;                ans=ans*(1+p*((p_mod(p,2LL*s)-1+Mod)%Mod)%Mod*p_mod(p+1,Mod-2)%Mod)%Mod;            }        }        ans=ans*(1+(LL)(n-1)*n%Mod)%Mod;        ans=(ans-1+Mod)%Mod;        printf("%lld\n",(ans*d%Mod*p_mod(2LL,Mod-2)%Mod+d)%Mod);    }    return 0;}

 

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