A^B mod C的分治思想

A^B mod C

假設0<a,b,c<n

1.使用最原始的方法是把A^B先求出來，最後mod C求出值。

但是這種方法效率低，時間複雜度為O(b)而且a^b必須小於n才不會溢出。具有很大的局限性。

 

2.改進方法一：

假設A>C,那麼存在A^B mod C = (A mod C)^(B mod C)

這種情況用在A>C的情況下非常適用，但是當A<C的時候，就無法使用。

所以最壞的情況下，還是需要a^b必須小於n才不會溢出。此法也不合適。

 

改進方法二：

我們可以把A^B中的B分解為(2a+2b+2c...)

例如12^36 = 12^(22+25)

      12^36 = 12^22*12^25

      12^36 mod 35 = (12^22 mod 35)*(12^25 mod 35) mod 35

 

我們可以知道

(12^21 mod 35)

(12^22 mod 35)

(12^23 mod 35)

(12^24 mod 35)

(12^25 mod 35)

之間存在著以下關係

(12^2n mod 35) = (12^2n-1 mod 35)*2mod 35

所以以上那些式子都可以依次求得。

 

最後查表實現(12^22 mod 35)*(12^25 mod 35) mod 35

 

但是這種方法還存在一個弊端，就是A*A必須要<n,否則也會造成結果的溢出。

雖然這種方法比上面的2種方法範圍都大，但是還是不能滿足我們的要求。

 

 

改進方法三：

既然上面一步溢出的臨界值是A*A<n。

那我們就想辦法把A*A再分解，讓最後A*A mod C的值小於n

 

這邊需要提到一個公式A*B mod C = (A mod C)*(B mod C)

 

我們假設A*A中，第一個A為X,第二個A為Y,而且必有

Y = 2a+2b+2c...

所以X*Y = X*(2a+2b+2c...)

所以X*Y mod C = ((((X*2a mod C) + (X*2b mod C)) mod C) + (X*2c mod C)) mod C......

 

由於我們可以知道

(X^21 mod C)

(X^22 mod C)

(X^23 mod C)

(X^24 mod C)

(X^25 mod C)

也存在以下關係

(X^2n mod C) = (X^2n-1 mod C)*2mod C

所以以上那些式子都可以依次求得。

 

最後X*X mod C的值也可以求得。

最後使用 改進方法二 就可以求得A^B mod C了。

 

此法由於把A再次進行了分解。所以範圍又進一步的擴大了。

此法的範圍可以達到當A*2<n的時候，都可以求得。