《A First Course in Abstract Algebra with Applications》-chaper1-數論

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  由於筆者在別的專欄多次介紹過數論，這裡在《抽象代數基礎教程》的專欄下，對於chaper1數論這一章節介紹的方式不那麼“入門”。

 

  首先來介紹一個代數中常用也是非常重要的證明方法：數學歸納法。

 

  看這樣幾個數學現實：

 

                           

  經過辛苦枯燥的計算，對於命題1，n最小的反例是41；對於命題2，n最小的反例是12055735790331359447442538767，數量級是10的二十八次方。

  也就會出現這樣一個事實：我們根據經驗(我們這裡想數學歸納法和自然歸納法混為一談)，判斷每天太陽都是從東方升起的，在航空航天技術沒有發展起來，這個命題我們無從證明，只能通過每天的經驗來進行歸納總結，地球的年齡的100億年，大約是一個10的12次方的數量級，也就是說，假設一個人從地球誕生開始計算命題2，以每天2個資料的速度，到現在他掌握的證據比太陽從東方升起的證據還要多，但是，這個命題依然是錯誤的。因此歸納法或者數學歸納法並不適用一切情況，但這並不影響其在所有證明方法中的重要作用。

 

  這個命題的證明通過最小整數定理能夠很容易看到，這些看起來似乎無關緊要而且顯然的公理、命題其實有著重要的作用。

 

    這個命題將為素數分解定理(唯一分解定理)的引出奠定基礎.

  

 

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