[ACM] POJ 1664 放蘋果（n個相同小球放入m個相同盒子）

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放蘋果

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Description

把M個同樣的蘋果放在N個同樣的盤子裡，允許有的盤子空著不放，問共有多少種不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一種分法。

Input

第一行是測試資料的數目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二個整數M和N，以空格分開。1<=M，N<=10。

Output

對輸入的每組資料M和N，用一行輸出相應的K。

Sample Input

17 3

Sample Output

8

Source

[email protected]

將n個相同的小球放入m個相同的盒子，問有多少種方法。

 解析：有些題目可以轉化為這樣的題目，比如有n個相同的小球，m個相同的盒子，要求每個盒子裡面至少有k個小球，問一共有多少種方法：http://blog.csdn.net/duanxian0621/article/details/7864791  方法為：預先在每個盒子裡面已經放好k個小球，那麼還剩下n-k*m 個小球，然後就轉化為了，把n-k*m個相同的小球放入m個相同的盒子裡面，有多少種方法。

 

分情況討論：a[i][j]表示i個小球放入j個盒子的方法數

①    當放入小球後，球數最少的盒子為空白，那麼就相當於，把i個小球放入j-1個盒子裡面，即a[i][j-1]。

②    當放入小球後，球數最少的盒子不為空白，那麼說明每個盒子裡面都至少有一個小球，那麼就預先把每個盒子裡面放入一個小球好了，有 a[i-j] [j]。

所以 ，遞推公式為 a[i][j]= a[i][j-1]+a[i-j][j]，這裡是i>=j的。

當i<j的時候，無論怎麼放，肯定會存在空盒，不妨先拿走一個空盒（保證有空盒）,然後把i個相同的小球放入剩餘的j-1個相同的盒子中，有a[i][j-1]種方法，所以a[i][j]=a[i][j-1].

 

綜上：將n個相同的小球放入m個相同的盒子有

當i>=j時，a[i][j]=a[i][j-1]+a[i-j][j];

當i<時，a[i][j]=a[i][j-1],（仔細想想，這裡也可以寫成a[i][j]=a[i][i]，因為a[i][i]=a[i][i+1]=a[i][i+2]=a[i][i+3]……..

初始化a數組代碼為：

int a[maxn][maxn];

void prepare()

{

   for (int i=0;i<m;i++)

   a[i][1]=a[0][i]=1;

   for (int i=1;i<maxn;i++)

       for (int j=2;j<maxn;j++)

           if (j<=i)

               a[i][j]=(a[i-j][j]+a[i][j-1])%MOD;

           else

               a[i][j]=a[i][i]; //其實是a[i][j-1]，不過和a[i][i]是一樣的。

}

代碼：

#include <iostream>using namespace std;const int maxn=11;int a[maxn][maxn];void init(){    for(int i=1;i<=10;i++)        a[0][i]=1,a[i][1]=1;    for(int i=1;i<maxn;i++)        for(int j=2;j<=maxn;j++)            if(j<=i)                a[i][j]=a[i][j-1]+a[i-j][j];            else                a[i][j]=a[i][i];}int main(){    init();    int t,n,m;    cin>>t;    while(t--)    {        cin>>n>>m;        cout<<a[n][m]<<endl;    }    return 0;}