作用選取範圍有關問題

作用選取範圍問題

問題描述：

設有n個活動的集合E={1,2,…,n}，其中每個活動都要求使用同一資源，如演講會場等，而在同一時間內只有一個活動能使用這一資源。每個活動i都有一個要求使用該資源的起始時間si和一個結束時間fi,且si

。

可以看出S中共有11個活動，最大的相互相容的活動子集為:{a1，a4，a8，a11，}和{a2，a4，a9，a11}。

2、動態規劃解決過程

（1）作用選取範圍問題的最優子結構

定義子問題解空間Sij是S的子集，其中的每個獲得都是互相相容的。即每個活動都是在ai結束之後開始，且在aj開始之前結束。

為了方便討論和後面的計算，添加兩個虛構活動a0和an+1，其中f0=0，sn+1=∞。

結論：當i≥j時，Sij為空白集。

如果活動按照結束時間單調遞增排序，子問題空間被用來從Sij中選擇最大相容活動子集，其中0≤i＜j≤n+1，所以其他的Sij都是空集。

最優子結構為：假設Sij的最優解Aij包含活動ak，則對Sik的解Aik和Skj的解Akj必定是最優的。

通過一個活動ak將問題分成兩個子問題，下面的公式可以計算出Sij的解Aij。

（2）一個遞迴解

　　設c[i][j]為Sij中最大相容子集中的活動數目，當Sij為空白集時，c[i][j]=0；當Sij非空時，若ak在Sij的最大相容子集中被使用，則則問題Sik和Skj的最大相容子集也被使用，故可得到c[i][j] = c[i][k]+c[k][j]+1。

當i≥j時，Sij必定為空白集，否則Sij則需要根據上面提供的公式進行計算，如果找到一個ak，則Sij非空（此時滿足fi≤sk且fk≤sj），找不到這樣的ak，則Sij為空白集。

c[i][j]的完整計算公式如下所示：

親測代碼:

 1 #include  2 #define max_size 10010 3 int s[max_size]; 4 int f[max_size]; 5 int c[max_size][max_size]; 6 int ret[max_size][max_size]; 7  8 using namespace std; 9 10 void DP_SELECTOF(int *s,int *f,int n,int c[][max_size],int ret[][max_size])11 {12     int i,j,k;13     int temp;14     for(j=2;j<=n;j++)15         for(i=1;i)16         {17             for(k=i+1;k)18             {19                 if(s[k]>=f[i]&&f[k]<=s[j])20                 {21                     temp=c[i][k]+c[k][j]+1;22                     if(c[i][j]<temp)23                     {24                         c[i][j]=temp;25                         ret[i][j]=k;26                     }27                 }28             }29         }30 }31 32 int main()33 {34     int n;35     printf("輸入活動個數 n: ");36     while(~scanf("%d",&n))37     {38         memset(c,0,sizeof(0));39         memset(ret,0,sizeof(ret));40         printf("\n輸入活動開始以及結束時間\n");41         int i,j;42         for(i=1;i<=n;i++)43         {44             scanf("%d%d",&s[i],&f[i]);45         }46         DP_SELECTOF(s,f,n,c,ret);47         printf("最大子集的個數=%d\n",c[1][n]+2);48     return 0;49 }

View Code

下面是貪進法的代碼：

 1 #include  2 #define max_size 10010 3 int s[max_size]; 4 int f[max_size]; 5 int ret[max_size]; 6 int c[max_size][max_size]; 7 using namespace std; 8  9 void GREEDY_ACTIVITY_SELECTOR(int *s,int *f,int n,int *ret)10 {11     int k,m;12     *ret++=1;13     k=1;14     for(m=2;m<=n;m++)15         if(s[m]>=f[k])16         {17             *ret++=m;18             k=m;19         }20 }21 int main()22 {23     int n;24     printf("輸入活動個數 n: ");25     while(~scanf("%d",&n))26     {27         memset(s,0,sizeof(s));28         memset(f,0,sizeof(f));29         memset(c,0,sizeof(0));30         memset(ret,0,sizeof(ret));31         printf("\n輸入活動開始以及結束時間\n");32         int i,j;33         for(i=1;i<=n;i++)34         {35             scanf("%d%d",&s[i],&f[i]);36         }37         GREEDY_ACTIVITY_SELECTOR(s,f,n,ret);38         for(i=0;i<=n;i++)39         {40             if(ret[i]!=0)41                 printf("a%d ",ret[i]);42         }43         printf("\n");44     }45 }

View Code

