演算法8-11：最短路徑演算法之負權

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負權指的是一張圖中包含一條權重小於0的邊。負環指的是一張圖中存在權重只和為負數的環。如果一張圖中存在負環，那麼這張圖是沒有最短路徑的。

那麼，假設圖中不存在負環，但是有負權，那麼最短路徑如何求解呢？答案就是使用Bellman-Ford演算法，該演算法的效能一般。

基本思想

Bellman-Ford演算法的基本思想就是對圖中所有的邊都進行V次“放鬆”操作。所以該演算法的複雜度是E×V。

該演算法的計算過程如所示。

改進

實際應用中會對演算法進行改進。改進方法就是用隊列記錄發生變化的頂點，這樣能減少平均複雜度，但是無法減少最壞情況下的複雜度。

代碼

public class BellmanFordSP extends SP {    public BellmanFordSP(EdgeWeightedDigraph G, int s) {        super(G, s);         // 將所有頂點到原點的距離設為無窮大        // 注意：下面這段代碼不要遺漏        for(int i=0;i<G.V();i++){            distTo[i] = Double.POSITIVE_INFINITY;        }        distTo[s] = 0;         for(int i=0;i<G.V();i++){            for(int v=0;v<G.V();v++){                for(DirectedEdge e:G.adj(v)){                    relax(e);                }            }        }    }}

演算法總結

無環有負權，使用拓撲排序演算法，複雜度為E+V

有環無負權，使用Dijkstra演算法，複雜度為E logV

有環有負權，使用Bellman-Ford演算法，複雜度為E V

應用

炒匯

下表展示了個幣種之間的匯率情況。如果不考慮交易的手續約，匯率價格不變，那麼可以找出一條迴圈賺錢的路徑，這個路徑就是通過尋找負環得出的。

arbitrage opportunity