演算法：二叉排序樹及其圖形化（二叉樹尋找）

二叉排序樹（BST，Binary Sort Tree）具有這樣的性質：對於二叉樹中的任意節點，如果它有左子樹或右子樹，則該節點的資料成員大於左子樹所有節點的資料成員，且小於右子樹所有節點的資料成員。排序二叉樹的中序遍曆結果是從小到大排列的。

二叉排序樹的尋找和插入比較好理解，主要來看一下刪除時的情況。

如果需要尋找並刪除8-6-8中的37， 51， 73，93這些在二叉排序樹中是葉子的結點，那是很容易的，畢竟刪除它們對整棵樹來說，其他結點的結構並未受到影響。

對於要刪除的結點只有左子樹或只有右子樹的情況，相對也比較好解決。那就是結點刪除後，將它的左子樹或右子樹整個移動到刪除結點的位置即可，可以理解為獨子繼承父業。比8-6-9，就是先刪除35和99兩結點，再刪除58結點的變化圖，最終，整個結構還是一個二叉排序樹。

但是對於要刪除的結點既有左子樹又有右子樹的情況怎麼辦呢？比8-6-10中的47結點若要刪除了，它的兩兒子和子孫們怎麼辦呢？

前人總結的比較好的方法就是，找到需要刪除的結點p的直接前驅（或直接後繼）s，用s來替換結點p，然後再刪除此結點s，8-6-12所示。

下面來看代碼：（參考《linux c 編程一站式學習》

 C++ Code 

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/*************************************************************************     > File Name: binarysearchtree.h     > Author: Simba     > Mail: dameng34@163.com     > Created Time: Sat 29 Dec 2012 06:05:55 PM CST  ************************************************************************/ #ifndef BST_H #define BST_H typedef struct node *link; struct node {     unsigned char item;     link left, right; }; link search(link t, unsigned char key); link insert(link t, unsigned char key); link delete(link t, unsigned char key); void print_tree(link t); #endif

 C++ Code 

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/*************************************************************************     > File Name: binarysearchtree.c     > Author: Simba     > Mail: dameng34@163.com     > Created Time: Sat 29 Dec 2012 06:08:08 PM CST  ************************************************************************/ #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include "binarysearchtree.h" static link make_node(unsigned char item) {     link p = malloc(sizeof(*p));     p->item = item;     p->left = p->right = NULL;     return p; } static void free_node(link p) {     free(p); } link search(link t, unsigned char key) {     if (!t)         return NULL;     if (t->item > key)         return search(t->left, key);     if (t->item < key)         return search(t->right, key);     /* if (t->item == key) */     return t; } link insert(link t, unsigned char key) {     if (!t)         return make_node(key);     if (t->item > key) /* insert to left subtree */         t->left = insert(t->left, key);     else /* if (t->item <= key), insert to right subtree */         t->right = insert(t->right, key);     return t; } link delete(link t, unsigned char key) {     link p;     if (!t)         return NULL;     if (t->item > key) /* delete from left subtree */         t->left = delete(t->left, key);     else if (t->item < key) /* delete from right subtree */         t->right = delete(t->right, key);     else   /* if (t->item == key) */     {         if (t->left == NULL && t->right == NULL)         {             /* 如果此時(遞迴)找到的節點已經是沒有子樹的樹葉則直接釋放空間                                                           共置t為NULL並由return返回，(即將上一層指向此節點的指標置為NULL)，防止野指標 */             /* if t is a leaf node */             free_node(t);             t =  NULL;         }         else if (t->left)  /* if t has left subtree */         {             /* replace t with the rightmost node in left subtree */             /* 如果想要刪除的節點有左子樹，則找到左子樹下邊最靠右的節點(已無右子樹) */             for (p = t->left; p->right; p = p->right);             t->item = p->item; /* 將左子樹下最靠右的節點值賦予想要刪除的節點 */             t->left = delete(t->left, t->item); /* 以左子樹的根指標作為根節點，遞迴找到最靠右節點                                                        若此時節點已無子樹則滿足地一個if條件，直接釋放空間                                                        若還有左子樹，則按相同原則遞迴進行換值後刪除下一個最靠右節點 */         }         /* 當找到要刪除的節點時，優先考慮將左子樹下最靠右節點的值換上來          * 如果沒有左子樹，則將右子樹下最靠左節點的值換上來 */         else  /* if t has right subtree */         {             /* replace t with the leftmost node in right subtree */             for (p = t->right; p->left; p = p->left);             t->item = p->item;             t->right = delete(t->right, t->item);         }     }     return t; } void print_tree(link t) {     if (t)     {         printf("(");         printf("%d", t->item);         print_tree(t->left);         print_tree(t->right);         printf(")");     }     else         printf("()"); }

 C++ Code 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56

/*************************************************************************     > File Name: main2.c     > Author: Simba     > Mail: dameng34@163.com     > Created Time: Sat 29 Dec 2012 06:22:57 PM CST  ************************************************************************/ #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<time.h> #include "binarysearchtree.h" #define RANGE 100 #define N 6 void print_item(link p) {     printf("%d", p->item); } int main(void) {     int i, key;     link root = NULL;     srand(time(NULL));     for (i = 0; i < N; i++)     {         root = insert(root, rand() % RANGE); /* 第一次迴圈root從NULL變成根節點值，接下去                                                 的迴圈雖然迭代root，但在插入節點過程中root的值始終不變 */         printf("root = 0x%x\n", (unsigned int)root);     }     printf("\t\\tree");     print_tree(root);     printf("\n\n");     while (root)     {         key = rand() % RANGE;         if (search(root, key))         {             printf("delete %d in tree\n", key);             root = delete(root, key); /* root雖然迭代，但返回的仍是先前的值，即根節點的值保持不變                                          直到全部節點被刪除，root變成NULL即0x0 */             printf("root = 0x%x\n", (unsigned int)root);             printf("\t\\tree");             print_tree(root); /* 傳遞給函數的一直是根節點的值，直到樹清空，root變成NULL */             printf("\n\n");         }     }     return 0; }

輸出為：

如果我們使用了The Tree Preprocessor，可以將以括弧展示的排序二叉樹轉換成樹形展示，如

以前此工具可以在 http://www.essex.ac.uk/linguistics/clmt/latex4ling/trees/tree/ 下載，現已找不到連結，我將其上傳到csdn，需要的可以去下載。

http://download.csdn.net/detail/simba888888/5334093

最後提一下，我們希望構建出來的二叉排序樹是比較平衡的，即其深度與完全二叉樹相同，那麼尋找的時間複雜度研究度O(logn)，近似於折半尋找，

但如果出現構造的樹嚴重不平衡，如完全是左斜樹或者右斜樹，那麼尋找時間複雜度為O(n)，近似於順序尋找。那如何讓二叉排序樹平衡呢？

事實上還有一種平衡二叉樹（AVL樹），也是一種二叉排序樹，其中每個結點的左子樹和右子樹的高度差至多等於1。