演算法圖解-狄克斯特拉演算法

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本章內容：

• 加權圖-提高或者降低某些邊的權重
• 狄克斯特拉演算法，能找出加權圖中前往x的最短路徑
• 圖中的環，它導致狄克斯特拉算不管用

7.1狄克斯特拉演算法

　　4個步驟：

1. 找出最便宜的節點，即最短時間內前往的節點
2. 對於該節點的鄰居，檢查是否有前往他們的最短路徑，如果有，就更新其開銷
3. 重複這個過程，知道對圖中的每個節點都這樣做了
4. 計算最終路徑

7.3負邊權

　　狄克斯特拉演算法不支援包含負邊權的圖，因為，狄克斯特拉演算法這樣假設：對於處理過的海報節點，沒有前往該節點的更短的路徑。包含負邊權的圖，可使用貝爾曼-福德演算法（bellman-Ford algorithm）。

7.4實現

 1 # the graph 2 graph = {} 3 graph["start"] = {} 4 graph["start"]["a"] = 6 5 graph["start"]["b"] = 2 6  7 graph["a"] = {} 8 graph["a"]["fin"] = 1 9 10 graph["b"] = {}11 graph["b"]["a"] = 312 graph["b"]["fin"] = 513 14 graph["fin"] = {}15 16 # the costs table17 infinity = float("inf")18 costs = {}19 costs["a"] = 620 costs["b"] = 221 costs["fin"] = infinity22 23 # the parents table24 parents = {}25 parents["a"] = "start"26 parents["b"] = "start"27 parents["fin"] = None28 29 processed = []30 31 def find_lowest_cost_node(costs):32     lowest_cost = float("inf")33     lowest_cost_node = None34     # Go through each node.35     for node in costs:36         cost = costs[node]37         # If it‘s the lowest cost so far and hasn‘t been processed yet...38         if cost < lowest_cost and node not in processed:39             # ... set it as the new lowest-cost node.40             lowest_cost = cost41             lowest_cost_node = node42     return lowest_cost_node43 44 # Find the lowest-cost node that you haven‘t processed yet.45 node = find_lowest_cost_node(costs)46 # If you‘ve processed all the nodes, this while loop is done.47 while node is not None:48     cost = costs[node]49     # Go through all the neighbors of this node.50     neighbors = graph[node]51     for n in neighbors.keys():52         new_cost = cost + neighbors[n]53         # If it‘s cheaper to get to this neighbor by going through this node...54         if costs[n] > new_cost:55             # ... update the cost for this node.56             costs[n] = new_cost57             # This node becomes the new parent for this neighbor.58             parents[n] = node59     # Mark the node as processed.60     processed.append(node)61     # Find the next node to process, and loop.62     node = find_lowest_cost_node(costs)63 64 print "Cost from the start to each node:"65 print costs

dijkstras_algorithm.py

字典graph描述了一個圖，如下所示：

 

costs描述了每個節點的開銷；

parents描述了一個父節點散列表。

演算法邏輯簡述如下：

• 尋找開銷最低的節點，擷取該節點開銷和鄰居，即以此節點為起始點的權值和路徑，這裡是B節點。
• 計算通過B節點到達其鄰居的開銷，並與從起點到達B鄰居的開銷對比。到達A節點新開銷較小，更新到達A節點的散列表開銷值，並把A的父節點改為B；比較B節點到終點的路徑2+5<無窮大，故將終點的路徑由無窮大改為7，父節點改為B。
• 將B節點標記為處理過。
• 重複步驟1，尋找出開銷最低的節點即A；此時A的開銷是5，終點的開銷是7。
• 重複步驟2，A只有一個鄰居節點即終點，對比通過A到達終點的開銷和已有的資料（7)，更新到達終點的開銷為6，並更新終點的父節點為A。
• 所有的節點都尋找過後，演算法結束。通過父節點散列表可以得到最優路徑；通過開銷散列表可得到最少到達終點的開銷。

7.6小結

• 廣度優先搜尋用於非加權圖中從尋找最短路徑
• 狄克斯特拉演算法用於加權圖中尋找最短路徑
• 僅當權重為正時，狄克斯特拉演算法才管用
• 如果圖中包含負權邊，請使用貝爾曼-福德演算法

演算法圖解-狄克斯特拉演算法