Algorithm Gossip: 超長整數運算(大數運算)

來源:互聯網
上載者:User
說明

基於記憶體的有效運用,程式語言中規定了各種不同的資料型態,也因此變數所可以表達的最大整數受到限制,例如123456789123456789這樣的整數就不可能儲存在long變數中(例如C/C++等),我們稱這為long數,這邊翻為超長整數(避免與資料型態的長整數翻譯混淆),或俗稱大數運算。
解法

一個變數無法表示超長整數,則就使用多個變數,當然這使用陣列最為方便,假設程式語言的最大資料型態可以儲存至65535的數好了,為了計算方便及符合使用十進位制的習慣,讓每一個陣列元素可以儲存四個位數,也就是0到9999的數,例如:

很多人問到如何計算像50!這樣的問題,解法就是使用程式中的乘法函式,至於要算到多大,就看需求了。

如果您使用的是Java,那麼在java.lang下有BigInteger與BigDecimal可以直接進行大數運算。

由於使用陣列來儲存數值,關於數值在運算時的加減乘除等各種運算、位數的進位或借位就必須自行定義,加、減、乘都是由低位數開始運算,而除法則是由高位數開始運算,這邊直接提供加減乘除運算的函式供作參考,以下的N為陣列長度。

實作
  • C
void add(int *a, int *b, int *c) { 
int i, carry = 0;

for(i = N - 1; i >= 0; i--) {
c[i] = a[i] + b[i] + carry;
if(c[i] < 10000)
carry = 0;
else { // 進位
c[i] = c[i] - 10000;
carry = 1;
}
}
}

void sub(int *a, int *b, int *c) {
int i, borrow = 0;

for(i = N - 1; i >= 0; i--) {
c[i] = a[i] - b[i] - borrow;
if(c[i] >= 0)
borrow = 0;
else { // 借位
c[i] = c[i] + 10000;
borrow = 1;
}
}
}

void mul(int *a, int b, int *c) { // b 為乘數
int i, tmp, carry = 0;

for(i = N - 1; i >=0; i--) {
tmp = a[i] * b + carry;
c[i] = tmp % 10000;
carry = tmp / 10000;
}
}

void div(int *a, int b, int *c) { // b 為除數
int i, tmp, remain = 0;

for(i = 0; i < N; i++) {
tmp = a[i] + remain;
c[i] = tmp / b;
remain = (tmp % b) * 10000;
}
}

  • Java
public class BigNumber {
public static int[] add(int[] a, int[] b) {
int carry = 0;
int[] c = new int[a.length];

for(int i = a.length - 1; i >= 0; i--) {
c[i] = a[i] + b[i] + carry;
if(c[i] < 10000)
carry = 0;
else { // 進位
c[i] = c[i] - 10000;
carry = 1;
}
}

return c;
}

public static int[] sub(int[] a, int[] b) {
int borrow = 0;
int[] c = new int[a.length];

for(int i = a.length - 1; i >= 0; i--) {
c[i] = a[i] - b[i] - borrow;
if(c[i] >= 0)
borrow = 0;
else { // 借位
c[i] = c[i] + 10000;
borrow = 1;
}
}

return c;
}

public static int[] mul(int[] a, int b) { // b 為乘數
int carry = 0;
int[] c = new int[a.length];

for(int i = a.length - 1; i >=0; i--) {
int tmp = a[i] * b + carry;
c[i] = tmp % 10000;
carry = tmp / 10000;
}

return c;
}

public static int[] div(int[] a, int b) { // b 為除數
int remain = 0;
int[] c = new int[a.length];

for(int i = 0; i < a.length; i++) {
int tmp = a[i] + remain;
c[i] = tmp / b;
remain = (tmp % b) * 10000;
}

return c;
}

public static void main(String[] args) {
int[] a = {1234, 5678, 9910, 1923, 1124};
int[] b = {1234, 5678, 9910, 1923, 1124};
int[] c = BigNumber.add(a, b);

for(int i = 0; i < c.length; i++) {
System.out.print(c[i]);
}
System.out.println();
}
}

 

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