【演算法】LCS演算法以及其JAVA的實現__演算法

LCS問題是動態規劃的經典問題，同時也算作入門問題吧。其目的是要求出兩個串的最長公用子串。例如如下兩個串：

串1：ABCBDAB

串2：BDCABA

那麼，它們的最長公用子序列是BCBA。注意，最長公用子序列不是最長的公用串，最長的公用串在leetcode裡面好像有過這麼一道題，用暴力求解的方法也能在很短的時間內算出來，不會耗費太長的時間。但是最長的公用子序列不是連續的，要找出來，就需要將串中所有的可能都列舉出來，這就需要指數層級的時間複雜度了。用純暴力的演算法就能難在很短的時間內計算出來。所以就有了我們動態規劃的LCS演算法。

看看書上的關於LCS最優子結構的定理：

令X = <x1,...xm>  Y=<y1,....yn>為兩個序列，Z為X,Y中的任意LCS：

1.如果Xm = Yn , 那麼Zk != Xm,且Zk-1 為 Xm-1 的一個LCS 

2.如果Xm != Yn , 那麼Zk ! = Yn ,且Zk-1 為 Yn-1的一個LCS 

那麼，我們如何在代碼中構造標識LCS呢。

首先我們定義兩個二維矩陣，B和C，維度為兩個串的長度+1。然後按照如下的規則迴圈或地櫃產生對應的矩陣。

1.如果i=0或者j=0: c[i][j]=0,   b[i][j]=' '.

2.如果i,j>0且x[i]=y[j]   c[i][j] = c[i-1][j-1] , b[i][j] = 'x'代表上箭頭

3.如果i,j>0且x[i]!=y[j]  c[i][j] = max(c[i-1][j] ,c[i-1][j-1])    b[i][j] = 'h' or 'w'代表豎向箭頭和橫向箭頭

產生的矩陣如下圖所示：其中x指代斜向箭頭，h指代豎向箭頭，w指向橫向箭頭：

然後，按照遞迴的方式，從最後一欄依次往前找，如果是斜箭頭，就記錄此時的雙向值，豎向箭頭就往上一移動，橫向箭頭就往左移動。最後得出按如下結果：

每次轉折點就是要得到的公用子串。

下面是java實現的代碼：

private Stack<Character> stack = new Stack<Character>();private void printLcs(char d[][], String a, int i ,int j){if(i==0||j==0){}else if(d[i][j]=='x'){stack.push(a.charAt(i-1));printLcs(d,a,i-1,j-1);}else if (d[i][j]=='h')printLcs(d,a,i-1,j);elseprintLcs(d,a,i,j-1);}public String getLCS(String a,String b){int[][] c = new int[a.length()+1][b.length()+1];char[][] d = new char [a.length()+1][b.length()+1];for(int i = 0; i<=a.length();i++)c[i][0]=0;for(int j = 0; j<=b.length();j++)d[0][j]=0;for(int i = 1; i<=a.length();i++){for(int j = 1; j<=b.length();j++){if(a.charAt(i-1)==b.charAt(j-1)){c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;d[i][j] = 'x';}else if (c[i-1][j] >= c[i][j-1]){c[i][j] = c[i-1][j];d[i][j] = 'h';}else{c[i][j] = c[i][j-1];d[i][j] = 'w';}}}printLcs(d , a , a.length(),b.length());String res = "";while(!stack.empty())res += stack.pop().toString();return res;}