史上最通俗的海明碼編碼計算、檢錯和錯誤修正原理解析

以下是筆者一節視頻課程中的PPT內容，細緻而又非常通俗地講解了海明碼的編碼計算、檢測錯和錯誤修正原理，如果因為PPT比較簡潔看不明白，可結合我的視訊來看，本節課程的視頻連結如下（可免費觀看，我全部課程5折搶購中！）：http://edu.51cto.com/lesson/id-21540.html
一、海明碼檢錯/錯誤修正基本思想
 海明碼（Hamming Code）是一個可以有多個校正位，具有檢測並糾正一位錯誤碼的錯誤修正碼，所以也僅用於通道特性比較好的環境中，如以太區域網路。它的檢錯、錯誤修正基本思想如下：

（1）將有效資訊按某種規律分成若干組，每組安排一個校正位通過異或運算進行校正，得出具體的校正碼

（2）在接收端同樣通過異或運算看各組校正結果是否正確，並觀察出錯的校校組，或者多個出錯的校正組的共同校正位，得出具體的出錯位元位

（3）對錯誤位取反來將其糾正
 二、海明碼計算
  海明碼計算要按以下步驟來進行：計算校正碼位元→確定校正碼位置→確定校正碼

   1. 計算校正碼位元

    假設用N表示添加了校正碼位後整個傳輸資訊的二進位位元，用K代表其中有效資訊位元，r表示添加的校正碼位元，它們之間的關係應滿足：N=K＋r≤2r－1（是為了確保r位校正碼能校正全部的資料位元，因為r位校正碼所能表示的最大十進位數為2r-1，同時也確保各位碼本身不被其他校正碼校正）

資訊碼位元	1	2~4	5~11	12~26	27~57	58~120	121~247
校正碼位元	2	3	4	5	6	7	8

   2. 確定校正碼位置

海明碼的校正碼的位置必須是在2n次方位置（n從0 開始，分別代表從左邊數起分別是第1、2、4、8、16……），資訊碼也就是在非2n次方位置

   3. 確定校正碼

• 校正位置選擇原則：第i位校正碼從當前校正碼位開始，每次連續校正i位後再跳過i位，然後再連續校正i位，再跳過i位，以此類推。確定每個校正碼所校正的位元位：

P1校正碼位校正的碼字位為：第1位（也就是P1本身）、第3位、第5位、第7位、第9位、第11位、第13位、第15位，……。

• P2校正碼位校正的碼字位為：第2位（也就是P2本身）、第3位，第6位、第7位，第10位、第11位，第14位、第15位，……。
• P3校正碼位校正的碼字位為：第4位（也就是P4本身）、第5位、第6位、第7位，第12位、第13位、第14位、第15位，第20位、第21位、第22位、第23位，……。
• Pn校正碼位校正的碼字位為：第2n-1位（也就是Pn本身）、第2n-1+1位、第2n-1+2位、第2n-1+3位、……、第2n-1位，第3×2n-1位、第3×2n-1+1、……、第2×2n-1位，第5×2n-1位、第5×2n-1+1位、第3×2n-1位，……、第7×2n-1位、第7×2n-1+1位、……、第4×2n-1位，……，第(2m-1) 2n-1位、……第m×2n-1位

    最後每組通過異或邏輯運算（與偶校正原理一樣），使每組的運算結果為0，即可得出第i位校正碼的值

    4. 實現校正和錯誤修正

把以上這些校正碼所校正的位分成對應的組，則在接收端的對各校正位再進行邏輯“異或運算”，如果採用的是偶校正，正常情況下均為0。

    如果最終發現只是一個校正組中的校正結果不符，則直接可以知道是對應校正組中的校正碼在傳輸過程中出現了差錯，因為所有校正碼所在的位是只由對應的校正碼進行校正；
如果發現多組校正結果不正確，則查看這些組中公用校正的資料位元（只有資料位元才可能被幾個校正碼進行校正），以最終確定是哪個資料位元出了差錯（海明碼只能檢查一位出錯）；
最後，對所找到的出錯資料位元取反即可實現錯誤修正。

三、海明碼計算樣本

原資訊碼：10011101

（1）確定校正碼位元

原始資訊碼一共8，根據前面的表可得知校正碼位元為4

（2）確定校正碼位置

？？1？001？1101

（2）電腦各位校正碼

Pn校正碼位校正的碼字位為：第2n-1位（也就是Pn本身）、第2n-1+1位、第2n-1+2位、第2n-1+3位、……、第2n-1位，第3×2n-1位、第3×2n-1+1、……、第2×2n-1位，第5×2n-1位、第5×2n-1+1位、第3×2n-1位，……、第7×2n-1位、第7×2n-1+1位、……、第4×2n-1位，……，第(2m-1) 2n-1位、……第m×2n-1位
P1(n=1):1、3、5、7、9、11   #----檢驗的bit位，下同

             1    1    0    1   1    0     #----對應位的值，下同

P2(n=2):2、3、6、7、10、11

             1    1     0    0   1     1

P3(n=3):4、5、6、7、12

              0   0    0    1    1  

P4(n=4):8、9、10、11、12

              1    1    1     0      1

最終得出插入校正碼後的資訊碼為：111000111101

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