快速冪運算應用

先來一個什麼是快速冪運算的講解部落格網址點擊開啟連結，別人寫的

然後理解了什麼是快速冪運算後這裡要寫的就是它的一個應用，包含了埃氏篩法算區間素數的方法

關於埃氏篩法可以看我的另一篇部落格http://blog.csdn.net/qq_34115899/article/details/79498829

題目：Carmichael Numbers (UVa No.10006)

大致意思是：我們把對任意的1<x<n都有xn≡x(mod n)成立的合數n稱為Carmichael Numbers。對於給定的整數n，請判斷它是不是Carmichael Numbers。（批註：a和b除以m後所得的餘數相等記作a≡b(mod m)）

限制條件 2<n<65000

範例:

輸入：      輸入：       輸入：        輸入：         輸入：         輸入：

17            561           4                 1729           1109           431

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NO           YES           NO             YES             NO              NO

import java.util.Scanner;/*不利用語言特性任何語言都可以寫*/public class Main {    public static boolean[] is_prime = new boolean[65001];    public static void main(String[] args) {        Scanner cin = new Scanner(System.in);        long n = cin.nextLong();        cin.close();        boolean flag = true;        sieve(n); // 記錄n以內，哪些是素數        if (is_prime[(int) n]) { // 是素數就不合題意            flag = false;        } else {            for (int i = 2; i < n; ++i) { // 1<x<n都有xn≡x(mod n)成立,即從1~n的x都有xn mod n恒等於x mod n,滿足就是YES否則NO                if (mod_pow(i, n, n) != i % n) {                    flag = false;                    break;                }            }        }        if (flag) {            System.out.println("YES");        } else {            System.out.println("NO");        }    }/*埃氏篩法原理：先將2到n範圍內的所有整數寫下來。其中最小的數字2是素數。將表中所有2的倍數都划去。表中剩餘的最小數字是3，它不能被更小的數整除，所以是素數。再將表中所有3的倍數都划去。依次類推，如果表中剩餘的最小數字是m時，m就是素數。然後將表中的所有m的倍數都划去。像這樣反覆操作，就能依次枚舉n以內的素數*/    public static void sieve(long n) { // 埃氏篩法複雜度O（nlognlogn）看作線性也可以        is_prime[0] = is_prime[1] = false;        for (int i = 2; i <= n; ++i) {            is_prime[i] = true;        }        for (int i = 2; i <= n; ++i) {            if (is_prime[i]) {                for (int j = i << 1; j <= n; j += i) {                    is_prime[j] = false;                }            }        }    }    public static long mod_pow(long x, long n, long mod) { // java的long是64位，c++的long long是64位，long是32位        long res = 1;        while (n > 0) {            if ((n & 1) == 1) {                res = res * x % mod;            }            x = x * x % mod;            n >>= 1;        }        return res;    }}

接下來如果使用java語言特性用BigInteger的話很方便，但可能逾時

import java.math.BigInteger;import java.util.Scanner;public class Main {    public static boolean[] is_prime = new boolean[65001];    public static void main(String[] args) {        Scanner cin = new Scanner(System.in);        int n = cin.nextInt();        cin.close();        boolean flag = true;        sieve(n);        if (is_prime[n]) {            flag = false;        } else {            for (int i = 2; i < n; ++i) {                BigInteger ii = new BigInteger(i + "");                if (ii.pow(n).mod(new BigInteger(n + "")).intValue() != i % n) {                    flag = false;                    break;                }            }        }        if (flag) {            System.out.println("YES");        } else {            System.out.println("NO");        }    }    public static void sieve(long n) {        is_prime[0] = is_prime[1] = false;        for (int i = 2; i <= n; ++i) {            is_prime[i] = true;        }        for (int i = 2; i <= n; ++i) {            if (is_prime[i]) {                for (int j = i << 1; j <= n; j += i) {                    is_prime[j] = false;                }            }        }    }}

=============================我是一個反應遲鈍的程式員==========================