棧的應用之中綴運算式轉尾碼運算式

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1，中綴運算式的定義及為什麼要將中綴運算式轉換為尾碼運算式？

中綴運算式（中綴記法）
中綴運算式是一種通用的算術或邏輯公式表示方法，操作符以中綴形式處於運算元的中間。中綴運算式是人們常用的算術表示方法。
雖然人的大腦很容易理解與分析中綴運算式，但對電腦來說中綴運算式卻是很複雜的，因此計算運算式的值時，通常需要先將中綴運算式轉換為首碼或尾碼運算式，然後再進行求值。對電腦來說，計算首碼或尾碼運算式的值要比中綴運算式簡單。

比如，電腦計算尾碼運算式的過程如下----尾碼運算式的電腦求值：
從左至右掃描運算式，遇到數字時，將數字壓入堆棧，遇到運算子時，彈出棧頂的兩個數，用運算子對它們做相應的計算（次棧頂元素 op 棧頂元素），並將結果入棧；重複上述過程直到運算式最右端，最後運算得出的值即為運算式的結果。
例如尾碼運算式“3 4 + 5 × 6 -”：
(1) 從左至右掃描，將3和4壓入堆棧；
(2) 遇到+運算子，因此彈出4和3（4為棧頂元素，3為次頂元素，注意與首碼運算式做比較），計算出3+4的值，得7，再將7入棧；
(3) 將5入棧；
(4) 接下來是×運算子，因此彈出5和7，計算出7×5=35，將35入棧；
(5) 將6入棧；
(6) 最後是-運算子，計算出35-6的值，即29，由此得出最終結果。

 

2，中綴運算式轉換為尾碼運算式演算法：

這裡只用了一個棧來儲存掃描中綴運算式時遇到的運算子。掃描過程中運算的運算元則直接 append 到輸出運算式的末尾

?運算子在何種情況下壓入棧？

若當前掃描的運算子的優先順序大於棧頂運算子的優先順序，則進行入棧。

若當前掃描的運算子的優先順序與棧頂運算子的優先順序相同，則需要判斷當前掃描的運算子運算時的結合方向，若結合方向為從左至右，則不需要入棧；若結合方向為從右至左，則入棧。其中，加、減、乘、除 運算子的結合方向為從左至右，而求冪運算子的結合方向為從右至左。由於求冪運算子的最優級最高且它的結合方向為從右至左，故掃描遇到求冪運算子時直接將其入棧。

?對於中綴運算式中的括弧的處理

左括弧總是被壓入棧。一旦左括弧在棧中，就被當作優先順序最低的運算子來對待，即：任何一個後繼的運算子都將被壓入棧。在遇到一個右括弧時，從棧中彈出運算子並將它們添加到輸出運算式末尾，直至彈出一個左括弧為止（尾碼運算式中沒有括弧，當然括弧也就不需要添加到輸出運算式了）。然後，演算法再繼續....

 

在從左向右處理中綴運算式的過程中，根據遇到的符號，執行下列動作：

①運算元         每個運算元都添加到輸出運算式末尾（輸出運算式就是最終得到的尾碼運算式結果）

②運算子 ^（求冪運算）       ^ 壓入棧（因為在所有的運算子中（加、減、乘、除、求冪）求冪運算的優先順序最高，且求冪運算的結合方式為從右至左）

③運算子 + -  * /     從棧中彈出運算子，並將它們添加到輸出運算式末尾，直至棧空或者棧頂優先順序比新的運算子低，然後再將新的運算子壓入棧

④左括弧 (      壓入棧

⑤右括弧 )     從棧中彈出運算子，將它們添加到輸出運算式末尾，直至彈出一個左括弧，丟棄這兩個括弧

 

3，具體的中綴運算式轉尾碼運算式的JAVA代碼實現

注意：程式中用來存放操作符的棧 不是 JDK 中java.util 包的Stack，而是自己實現的Stack。參考：使用JAVA數組實現順序棧

 1 import list.SequenceStack; 2 import list.Stack; 3  4 public class Postfix { 5     /* 6      * @Task: 將中綴運算式轉換為尾碼運算式 7      * @param: infix 合法的中綴運算式字串 8      * @return: 與infix等價的尾碼運算式字串 9      */10     public static String convert2Postfix(String infix){11         StringBuffer postfix = new StringBuffer();//初始化一個字串緩衝區存放轉換過程中產生的尾碼運算式12         Stack<Character> operatorStack = new SequenceStack<Character>();13         int characterCount = infix.length();14         char topCharactor;15         16         for(int index = 0; index < characterCount; index++){17             boolean done = false;18             char nextCharacter = infix.charAt(index);19             if(isVariable(nextCharacter))20                 postfix = postfix.append(nextCharacter);21             else{22                 switch(nextCharacter)23                 {24                 case ‘^‘:25                     operatorStack.push(nextCharacter);26                     break;27                 case ‘+‘: case ‘-‘: case ‘*‘: case ‘/‘:28                     while(!done && !operatorStack.empty()){29                         topCharactor = operatorStack.peek();30                         if(getPrecedence(nextCharacter) <= getPrecedence(topCharactor)){31                             postfix = postfix.append(topCharactor);32                             operatorStack.pop();33                         }34                         else35                             done = true;//當棧頂元素逐漸pop後,nextCharacter的優先順序大於 棧頂的優先順序36                     }//end while37                     operatorStack.push(nextCharacter);//當nextCharacter的優先順序大於 棧頂的優先順序,再把nextCharacter push 入棧38                     break;39                 case ‘(‘:40                     operatorStack.push(nextCharacter);41                     break;42                 case ‘)‘:43                     topCharactor = operatorStack.pop();44                     while(topCharactor != ‘(‘){45                         postfix = postfix.append(topCharactor);46                         topCharactor = operatorStack.pop();47                     }48                     break;49                 default:break;50                 }//end switch51             }52         }//end for53         54         while(!operatorStack.empty()){55             topCharactor = operatorStack.pop();56             postfix = postfix.append(topCharactor);57         }58         return postfix.toString();59     }60     61     private static int getPrecedence(char operator){62         switch(operator)63         {64         case ‘(‘: case ‘)‘: return 0;//實際只有 + - * / 才需要調用該函數比較優先順序65         case ‘+‘: case ‘-‘: return 1;// + - 優先順序為166         case ‘*‘: case ‘/‘: return 2;// * / 優先順序為267         case ‘^‘:             return 3;68         }69         return -1;70     }71     72     //運算元預設用字母來表示73     private static boolean isVariable(char charactor){74         return Character.isLetter(charactor);75     }76     77     //for test purpose78     public static void main(String[] args) {79         String postfix = convert2Postfix("a/b*(c +(d-e))");80         System.out.println(postfix);81     }82 }

 

參考資料：首碼、中綴、尾碼運算式

演算法詳細解釋參考《資料結構與演算法JAVA語言描述第二版》--Frank M.Carrano 著.第21章

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