自動掃雷——機率分析之數學實現

前面的《自動掃雷》系列博文介紹了如何從XP內建的掃雷遊戲中擷取遊戲、分析確定情況下的雷塊，以及操作滑鼠完成遊戲。這篇將介紹如何使用數學中的機率知識來玩掃雷遊戲，也正是本人最想介紹的地方，即《前言》中所說的第四種掃雷模型的分析。

先看遊戲介面，如下：   

在遊戲開始時，如何出現這樣的情況，我們可以認為遊戲中未顯示塊按機率相等可分為四個地區，其中a,b,c是其中的三個地區（a地區指上面的5個塊，b地區指中間的3個塊，c地區指下面的5個塊），再加上不與已揭開塊相鄰的所有塊構成一個地區d（d地區含有465塊）。那麼這四個地區中哪個地區有雷的機率最小呢？

這裡直接說明所使用的數學方法叫做——條件機率和全機率公式。

條件機率可以說是電腦領域的一個功臣，由其發展而來的“統計語言模型”實現了機器翻譯、語音辨識、漢字識別等一系列的用傳統方法很難解決的問題。而以其為基礎的“貝葉斯公式”在影像處理、決策支援系統和博弈論中有著廣泛的應用。

維基百科中給的定義是：條件機率就是事件A在另外一個事件B已經發生條件下的發生機率。條件機率表示為P（A|B），讀作“在B條件下A的機率”。

而全機率為：

假設{ Bn : n = 1, 2, 3, ... } 是一個機率空間的有限或者可數無限的分割，且每個集合Bn是一個可測集合，則對任意事件A有全機率公式：

又因為

此處Pr(A | B)是B發生後A的條件機率，所以全機率公式又可寫作：

 

用自己的話說，條件機率是在某件事發生的情況下，另一件事的機率；全機率是將所有情況的機率加起來。

而在掃雷遊戲中有什麼“所有情況”呢？

看上面的遊戲情境，a,b,c所佔的13個塊，如果僅僅根據上面所顯示的"1","2"，可以說這13個塊中，雷的總數可以有2個，也可以有3個！！並且有2個或者3個的機率分別是1/2。

 那麼其情況如下：

上表說明當雷數為2時，abc有雷的機率分別為0,1/3,1/5；當雷數為3時，abc有雷的機率分別為1/5,0,2/5。

可算出

a地區有雷的機率為0*1/2+(1/5)*(1/2)=1/10

b地區有雷的機率為(1/2)*(1/3)+0*1/2=1/6

c地區有雷的機率為(1/2)*(1/5)+(1/2)*(2/5)=3/10

而d地區的機率同理也算出為(1/2)*(97/465)+(1/2)*(96/465)=193/930

可知，a地區有雷的機率最小，故可以在此5塊中隨機選一塊點擊了，然後一切就交給上蒼了~~（在不用類似查看記憶體的方法的情況下，人做的就只有這麼多了）

到此，數學原理已介紹完畢，用一句話總結，即，先找出按地區劃分的未顯示塊，然後分類討論這些地區中雷的總個數。接下來的一篇博文（也是本系列最後一篇），將介紹如何將上面的數學運算用程式碼實現。

批註：從自己想到數學實現到想明白如何用程式碼實現，應該有兩年之多，當然只是偶爾無聊時才思考一下。不過，在思考這個實現過程中，自己開始一直在用數學的思路而沒有用代碼的思路去思考，故一直行不通。當自己用代碼實現後，感覺自己的思維又有了新的提高~~