基本演算法-堆排序及其Java實現

  (二叉)堆(heap)資料結構是一種數組對象，可以視作一顆完全二叉樹，從該二叉樹的根開始層次遍曆這顆二叉樹就可以得到其對應的數組。樹的根節點為A[0]，對於樹中某個節點的座標i，其左右孩子節點和父親節點的座標可以很方便的求得：

   LEFT(i)=2*i+1; RIGHT(i)=2*i+2; PARENT(i)=i/2 .

  有兩種二元堆積：最大堆和最小堆。最大堆中，每個節點儲存的數值都大於等於其左右兩個孩子節點儲存的數值,亦即A[i]>=A[LEFT[i]]&&A[i]>=A[RIGHT[i]]。最小堆則正好相反。本文以最大堆為例。

  知道了最大堆的定義之後，就要在給定的任意數組上構建最大堆，然後利用這個最大堆進行升序排序：

  (1) 構建最大堆：

  首先我們定義一個方法Heapify(heap，i)，如果以i的左右孩子節點為根的子樹已經是最大堆，則該方法使得以i為根的子樹也成為最大堆。其虛擬碼如下(摘自《演算法導論》)：

 1 MAX-HEAPIFY(A,i) 2  l=LEFT(i) 3  r=RIGHT(i) 4  target=i; 5  if(l<=A.heap_size&&A[l]>A[i]) 6    target=l; 7  if(if(r<=A.heap_size&&A[r]>A[i])) 8    target=r; 9  if(target!=i)10    exchange(A[i],A[target])11    MAX-HEAPIFY(A,target)//遞迴

  我們比較當前節點i的數值和其左右子節點的數值，如果i的某個子節點的數值大於i的數值，則違反了最大堆的定義，所以我們需要交換這兩個節點的位置。假設A[LEFT[i]]>A[RIGHT[i]]>A[i],則交換i節點與LEFT[i]節點。但是，被交換到左孩子節點的i節點可能會違反以左孩子結點為根的最大堆的定義，所以我們需要對這個最大堆遞迴調用MAX-HEAPIFY方法。

  有了上面這個方法之後，我們就可以自底向上的調用MAX-HEAPIFY方法構建最大堆。因為A[A.length/2+1]及其之後的節點都是葉子節點，都可以看做只有一個節點的最大堆，所以我們可以從A[A.length/2]節點開始直到A[0]節點依次調用MAX-HEAPIFY方法，亦即從樹的層次遍曆的最後一個有孩子的節點開始，按照層次遍曆的逆序調用MAX-HEAPIFY方法：

1 BUILD-MAX-HEAP(A)2  for i=A.length/2 downto 13     MAX-HEAPIFY(A,i)

  (2) 堆排序

  構造完最大堆之後，我們就可以利用其進行排序。因為最大堆只能保證A[0]儲存的是當前堆中最大的元素，我們可以把A[0]與堆的最後一個元素互換，這樣A[0]就排在了最後一個位置，也是正確的位置。這時最後一個位置已經不屬於最大堆，所以A.heap_size要減一。互換到A[0]的元素可能會破壞最大堆的性質，我們可以調用MAX-HEAPIFY方法使之重新成為最大堆，然後將A[0]交換至當前堆的最後一個位置。依次遞迴。

1 HEAPSORT(A)2   for i=A.length downto 23     exchange(A[i],A[0])4     --A.heap_size //堆的大小減少5     MAX-HEAPIFY(A,0)

  (3) 堆的JAVA實現

 

 1 package Algorithm; 2  3 import java.util.*; 4 /** 5  * 堆(Heap) 6  * @author Kemaswill 7  * 2012-10-5 Friday 8  */ 9 10 public class Heap {11     12     public static int[] data;13     public static int length;14     public static int heap_size;15     16     public Heap(){17         this.length=20;18         this.heap_size=length;19         this.data=new int[length];20         Random random=new Random(System.currentTimeMillis());21         for(int i=0;i<length;i++){22             data[i]=Math.abs(random.nextInt()%50);23         }//for24     }25     26     public Heap(int n){27         this.length=n;28         this.heap_size=length;29         this.data=new int[length];30         Random random=new Random(System.currentTimeMillis());31         for(int i=0;i<length;i++){32             data[i]=Math.abs(random.nextInt()%50);33         }//for34     }35     36     public static void max_heapify(Heap heap,int i){37         if(i<heap.heap_size){38             int l=2*i+1;39             int r=2*i+2;40             int target=i;41             if(l<heap.heap_size&&heap.data[l]>heap.data[i]){42                 target=l;43             }44             if(r<heap.heap_size&&heap.data[r]>heap.data[target]){45                 target=r;46             }47             if(target!=i){48                 exchange(heap,i,target);49                 max_heapify(heap,target);50             }//if51         }//if        52     }//heapify53     54     public static void exchange(Heap heap,int x,int y){55         int tmp=heap.data[x];56         heap.data[x]=heap.data[y];57         heap.data[y]=tmp;58     }59     60     public static void build_heap(Heap heap){61         //對於所有非葉結點，依次調用max_heapify62         for(int i=heap.heap_size/2;i>=0;i--){63             max_heapify(heap,i);64         }65     }66     67     public static void heapsort(Heap heap){68         69         for(int i=heap.length-1;i>0;i--){70             exchange(heap,0,i);71             heap.heap_size--;72             max_heapify(heap,0);73         }74     }//heapsotr75     76     public static void show_heap(Heap heap){77         for(int i=0;i<=(int)Math.log(heap.length)/Math.log(2)+2;i++){78             for(int j=(int)Math.pow(2, i)-1;j<Math.pow(2, i+1)-1;j++){79                 if(j<heap.length){80                     System.out.print(heap.data[j]+" ");81                 }82                 else break;83                 }84             System.out.println();85             }        86     }87     88     public static void main(String[] args){89         Heap heap=new Heap();90         show_heap(heap);91         build_heap(heap);92         show_heap(heap);93         heapsort(heap);94         show_heap(heap);95         96     }//main97 98 }

 

  參考文獻：

  [1] 《演算法導論》 第6章 p73

  [2] 一個用Java實現的簡單的最大堆