【基礎練習】【數論/類比】codevs1670 無窮的序列題解

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題目：

題目描述 Description

有一個無窮序列如下： 110100100010000100000… 請你找出這個無窮序列中指定位置上的數字

輸入描述 Input Description

第一行一個正整數N，表示詢問次數； 接下來的N行每行一個正整數Ai，Ai表示在序列中的位置。

輸出描述 Output Description

N行，每行為0或1，表示序列第Ai位上的數字。 

範例輸入 Sample Input

4

3

14

7

6

範例輸出 Sample Output

0

0

1

0

資料範圍及提示 Data Size & Hint

【資料範圍】 對於100%的資料有N≤1500000，Ai≤10^9

我們觀察序列，發現這個序列可以分為很多組，每一組為1和很多0 0的個數取決於他前面的1是第幾個1

這道題目有好多做法，看資料規模，單個查詢必須是O（1）的時間 但本體資料相當弱= =

先放上我自己的做法，和題解裡一位同學是相似的，用類比。

剛開始想的是儲存每個位置上的數字直接查表，但顯然空間不足。256M可以開一億的數組，但本題需要十億= =

所以改為用數組f[i]表示第i個1的位置 這樣只需要五萬左右 五萬平方就是二十五億了

之後對於每個詢問尋找有沒有i使得f[i]==x即可

尋找可以最佳化，最佳化為二分，還有更快的，利用每個1的位置都是n*(n+1)/2 將尋找範圍縮小為幾個數

但是我的最佳化失敗了= =好在資料很弱，從1到maxn尋找就可以過

上代碼

顯然此題還有更多更好的做法，我來總結一下：

1.裡奧的做法，直接解方程n*(n+1)/2=x的整數解 如果有就是1 否則是0

2.這種方法我不大理解

”判斷8*a-7是否為完全平方數即可
即是否trunc(sqrt(8*a-7))=sqrt(8*a-7)“

3.一種數論方法：

只要求出距離k最近的1所在位置即可
不難發現  每一個出現1位置都符合n*(n+1)/2+1，於是進行以下推導：
設k=n*(n+1)/2（n為最近的1所在位置，k為詢問的位元
則有2*k=n*(n+1)
可見n=trunc(sqrt(n*(n+1)))=trunc(sqrt(2*k))
求出n後只要判斷k是否等於n*(n+1)/2+1即可
t:=trunc(sqrt(2*k));
if k<>(t*t+t) div 2+1 then
ans[i]:=0
else
ans[i]:=1;

有的地方不大懂 尤其是取整這裡 trunc是去尾

4.另一種數論 與上方類似，但也有一段不大理解

假設我們遇到了一個輸入n，並假設它處於第m組。
於是：0.5*(m-1)*m<n<=0.5*m*(m+1)
上式乘2，得到：m*(m-1)<2n<=m*(m+1)
放縮，得到：(m-1)*(m-1)<2n<(m+1)*(m+1)
這樣，我們就只需要將2n開方再取整，那麼得到的數字要麼是m，要麼是m-1，進行一下判斷就可以輕鬆的求解出m
而m正好就是n在的組數！
這樣，我們就用O(1)的方法求出了n在的組數。秒殺掉此題。

好吧，膜拜上面諸大神，題解多來自codevs

於是這道題就這麼結束了 下午還是要加油啊

——溪雲初起日沉閣，山雨欲來風滿樓。

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