貝茲路徑遞迴

下面的說明只注重對概念的表述和對實際操作過程的說明，並不進行嚴格的證明。

一般的貝茲路徑：
    對給定的 n+1 個點，可以作出 n 階的貝茲路徑。其中最前和最後這兩個點在曲線上，其餘 n-1 個中間點是控制點，主要用於控制曲線的形狀，不一定在曲線上。
    假如給定的 n+1 個點是 (x0,y0),...,(xn,yn), 以 t 作為參數，則產生的曲線上的所有點可以表示如下：
       n
  x =  ∑ C(n,i) *t^i *(1-t)^(n-i) *xi
      i=0

       n
  y =  ∑ C(n,i) *t^i *(1-t)^(n-i) *yi
      i=0
    其中 x,y 分別是產生的曲線上的點的 橫座標 和 縱座標。
    t 是參數，其有效範圍是 [0，1]。
    C(n,i)就是組合數，比如 C(3,1) = 3。

實用 3 階貝茲路徑：
    實際應用中，常用 3 階的貝茲路徑，也就是要對 4 個點進行計算。
設 已知 的4點為 p0(x0,y0),p1(x1,y1),p2(x2,y2),p3(x3,y3),其中 0 和 3 是端點， 1，2是控制點，則 該曲線上的所有點表示為：
  x = (1-t)^3 *x0 + 3*t*(1-t)^2 *x1 + 3*t^2*(1-t) *x2 + t^3 *x3
  y = (1-t)^3 *y0 + 3*t*(1-t)^2 *y1 + 3*t^2*(1-t) *y2 + t^3 *y3
  其中 0 <= t <= 1.

直接的簡單實現：
    按照公式，對每個t，代入式子就可以得到曲線上對應點的座標了。當然具體實現時，可根據適當的間隔取  t 值，然後用直線將這些值對應的點連起來就是了。
    類似於多項式的計算，在電腦上計算的時候，可以用 德卡斯翠奧演算法 來求出，而不必直接計算高次冪。
設四個控制頂點是p0,p1,p2,p3，對每個具體的 t,可以做出下面的表：
p00
p10  p11
p20  p21  p22
p30  p31  p32  p33

其中：
p00 = p0
p10 = p1
p20 = p2
p30 = p3

p11 = p00*(1-t) + p10*t
p21 = p10*(1-t) + p20*t
p31 = p20*(1-t) + p30*t

p22 = p11*(1-t) + p21*t
p32 = p21*(1-t) + p31*t

p33 = p22*(1-t) + p32*t
通過驗證可以知道，p33就是要求的值。

代碼略。

簡單實現遇到的問題：
    上面說的簡單實現，t 的間距不好確定。因為曲線的形狀可能千奇百怪，間隔太大則誤差太大，太小的話則效率太低，難以確定一個對所有情況都合適的間隔值。而在實際應用中，則是用 遞迴 的方法來解決這個問題的。

實際中的遞迴處理：
    回頭看上面求值的那個演算法，當取 t=1/2 時， t = 1-t = 1/2，計算過程可以簡化如下：
p00
p10  p11
p20  p21  p22
p30  p31  p32  p33
其中：
pi0跟上面一樣，分別就是那4個輸入焦點p0,p1,p2,p3
pij = [ p(i-1)(j-1) + p(i-1)j ] / 2    (簡化的就是這個計算過程)

顯然，p33就是 t=1/2 時所對應曲線上的點。
而且，
    如果以p00,p11,p22,p33為4個新的輸入焦點，產生新的3階貝茲路徑，則該曲線跟原來p0~p3產生的曲線在t∈[0，1/2]的部分“完全重合”。
    如果以p33,p32,p31,p30為4個新的輸入焦點，產生新的3階貝茲路徑，則該曲線跟原來p0~p3產生的曲線在t∈[1/2，1]的部分“完全重合”。
這裡注意新輸入焦點的輸入順序。

    上面漏了說貝茲路徑跟輸入焦點的一個關係，就是貝茲路徑總是處在 輸入焦點的凸包 內。那麼可以得知，曲線上的點到 線段p0p3（就是兩個端點） 的距離不大於 max(p1到p0p3的距離， p2到p0p3的距離)。
    而採用 德卡斯翠奧演算法，取t=1/2 所求出來的中間點pij，其實就是 p(i-1)(j-1),pi(j-1) 的中點。比劃一下也可以看出，中間點全部都在 p00,p10,p20,p30的凸包裡面，也就是 p00,p11,p22,p33所形成的凸包 和 p33,p32,p21,p30的凸包也被包含在 p0,p1,p2,p3 的凸包裡面。

綜上所述：
    p00,p11,p22,p33 和 p33,p32,p31,p30 所產生的曲線拼起來，就是p0,p1,p2,p3產生的曲線。
    對p0,p1,p2,p3，用線段 p0p3 代替 產生的曲線，並以曲線上的點到線段的最大距離為誤差，則 p00,p11,p22,p33 和 p33,p32,p31,p30的誤差比 p0,p1,p2,p3 的要小。

所以，得到的遞迴產生曲線步驟如下：
1、
    對 p0,p1,p2,p3 4個點，先檢查 
     max( d(p1, p0p3), d(p2, p0p3) ) < E （d()是點到直線距離，E是給定的誤差範圍，表示p0,p2,p3,p3的凸包的邊跟產生曲線的最大差距。） 
    是否成立。
    如果 滿足 條件，則簡單用線段 p0p3 代替產生的曲線，返回。
    如果不滿足，繼續。

2、
    對 p0,p1,p2,p3 4個點，進行 t=1/2 的德卡裡奧演算法。
    對得到的 p00,p11,p22,p33，遞迴進行步驟 1 的操作；
    對得到的 p33,p32,p31,p30，遞迴進行步驟 1 的操作。
    返回。