二值形態學——腐蝕與膨脹 及 C語言代碼實現

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 參考文獻：數位影像處理(第三版) 何東健 西安電子科技大學出版社

 

二值形態學中的運算對象是集合， 但實際運算中， 當涉及兩個集合時並不把它們看作是互相對等的。 一般設A為映像集合， S為結構元素， 數學形態學運算是用S對A進行操作。 結構元素本身也是一個映像集合， 不過通常其尺寸要比靶心圖表像小得多。 對結構元素可指定一個原點， 將其作為結構元素參與形態學運算的參考點。 原點可包含在結構元素中， 也可不包含在結構元素中， 但運算的結果常不相同。 以下用黑點代表值為1的地區， 白點代表值為0的地區， 運算對於值為1的地區進行。

 

1.腐蝕

　　腐蝕是一種最基本的數學形態學運算。 對給定的靶心圖表像X和結構元素S， 將S在映像上移動， 則在每一個當前位置x， S+x只有3種可能的狀態， 如所示：

           

第（1）種情形說明S+x與X相關；

第（2）種情形說明S+x與X不相關；

第（3）種情形說明S+x與X只是部分相關。

因而滿足(1)式的點x的全體元素，稱該點集為S對X的腐蝕(簡稱腐蝕， 也稱X用S腐蝕)，記為。

腐蝕也可以用集合的方式定義：

該式表明， X用S腐蝕的結果是所有使S平移x後仍在X中的x的集合。 換句話說， 用S來腐蝕X得到的集合是S完全包含在X中時S的原點位置的集合。　　

　　腐蝕在數學形態學運算中的作用是消除物體邊界點、 去除小於結構元素的物體、 清除兩個物體間的細小連通等。 如果結構元素取3×3的像素塊， 腐蝕將使物體的邊界沿周邊減少1個像素。

 

“腐蝕”圖解：（腐蝕將映像（地區）縮小了）

 

 

代碼實現：

【注】二值腐蝕基本運算，背景為黑色，目標為白色。

 1 //二值腐蝕 2 /*函數參數： 3     a——待腐蝕的映像 4     b——腐蝕後的結果 5     mat[5][5]——結構元素，我這裡預設設了5*5的大小 6 */ 7 void Bi_Corrosion(Mat &a, Mat &b, int mat[5][5]) 8 { 9     int i, j, k, o;10     int rows = a.rows;11     int cols = a.cols*a.channels();12 13     bool flag;14 15     uchar *dst = b.data;16     uchar *src = a.data;17     //針對映像中每一個像素位置，判斷是否結構元素能填入目標內部18     for(i = 2; i < rows-2; i++) {19         for(j = 2; j < cols-2; j++) {        20             //判斷結構元素是否可以在當前點填入目標內部，1為可以，0為不可以21             flag = 1;22             for(k = -2; k <= 2 && flag; k++) {23                 for(o = -2; o <= 2; o++) {24                     //如果當前結構元素位置為1，判斷與對應映像上的像素點是否為非025                     if(mat[k+2][o+2]) {26                         //如果映像當前像素為0，則沒有擊中該點，不是腐蝕的輸出27                         if(!*(src+(i+k)*cols+j+o)){28                             flag = 0;    break;29                         }30                     }31                 }32             }33             *(dst+i*cols+j) = flag ? 255 : 0;34         }35     }36 }

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2.膨脹

　　腐蝕可以看作是將映像X中每一個與結構元素S全等的子集S+x收縮為點x。 反之， 也可以將X中的每一個點x擴大為S+x， 即膨脹運算， 記為。用集合語言定義膨脹運算的定義形式為：

圖示：

 

 

【注意】來看下特殊情況：　用B膨脹後，結果向左平移了；而用B映像的反射膨脹後位置不變。

　      　

 

　　

對於非對稱結構S，膨脹後會使得原圖錯移，但膨脹不會，總的位置和形狀不變，因此膨脹公式也可以寫做：

 

對集合X的膨脹也可以看做是對集合X補集的腐蝕的補集具有對偶特性：

腐蝕和膨脹運算與集合運算的關係如下：

 

 

代碼實現：

【注】二值膨脹基本運算，背景為黑色，目標為白色。

 1 //二值膨脹 2 /*函數參數： 3     a——待腐蝕的映像 4     b——腐蝕後的結果 5     mat——結構元素 6 */ 7 void Bi_Expansion(Mat &a, Mat &b, int mat[5][5]) { 8     int i, j, k, o; 9     int rows = a.rows;10     int cols = a.cols*a.channels();11     Mat tmp = a.clone();12     uchar* src = tmp.data;13     //膨脹是對映像中目標補集的腐蝕，因此先求輸入映像資料的補集14     for(i = 0; i < rows; i++)15         for(j = 0; j < cols; j++)16             *(src+i*cols+j) = 255 - *(src+i*cols+j);17     //膨脹是結構元素的對稱集對補集的腐蝕，此處求其反射18     for(i = 0; i < 5; i++)19         for(j = 0; j <= i; j++)20             mat[i][j] = mat[j][i];21     bool flag;22     uchar* dst = b.data;23     //針對映像中每一個像素位置，判斷是否結構元素能填入目標內部24     for(i = 2; i < rows-2; i++) {25         for(j = 2; j < cols-2; j++) {        26             //判斷結構元素是否可以在當前點填入目標內部，1為可以，0為不可以27             flag = 1;28             for(k = -2; k <= 2 && flag; k++) {29                 for(o = -2; o <= 2; o++) {30                     //如果當前結構元素位置為1，判斷與對應映像上的像素點是否為非031                     if(mat[k+2][o+2]) {32                         if(!*(src+(i+k)*cols+j+o)){//沒擊中33                             flag = 0;    break;34                         }35                     }36                 }37             }38             *(dst+i*cols+j) = flag ? 255 : 0;39         }40     }41     //用結構元素對稱集對目標補集腐蝕後，還要對結構再求一次補集，才是膨脹結構輸出42     //賦值結構元素腐蝕漏掉的地區，使原映像恢複為二值映像43     for(i = 0; i < rows; i++) {44         for(j = 0; j < cols; j++) {45             *(dst+i*cols+j) = 255 - *(dst+i*cols+j);46             if(*(dst+i*cols+j) != 255 && *(dst+i*cols+j) != 0)47                 *(dst+i*cols+j) = 0;48         }49     }50 }

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