DS之二叉樹，ds二叉樹

DS之二叉樹，ds二叉樹

       二叉樹是另一種樹型結構，它的特點是每個結點至多隻有兩棵子樹(即二叉樹中不存在度大於2的結點)，並且，二叉樹的子樹有左右之分，其次序不能任意顛倒。

       二叉樹可以分為5種基本形態：

       (1)空二叉樹。

       (2)僅有根結點的二叉樹。

       (3)左子樹為空白的二叉樹。

       (4)右子樹為空白空的二叉樹。

       (5)左，右子樹均為非空的二叉樹。

       圖示為：

 

       再延伸一下的話就是畫出有三個結點的二叉樹的基本形態：

 

         滿二叉樹

        一棵深度為k且有(2^K)-1個結點的二叉樹稱為滿二叉樹。

        完全二叉樹

        深度為k的，有n個結點的二叉樹，若且唯若其每一個結點都與深度為k的滿二叉樹中編號從1至n的結點一一對應時，稱之為完全二叉樹。

        這兩種特殊形態的二叉樹的圖示：

 

       對於滿二叉樹(a)的深度為4，每一層上的結點數都是最大結點數。對這棵滿二叉樹進行連續編號，約定編號從根結點起，自上而下，自左至右。

      對於完全二叉樹(b)的深度為4，葉子結點只可能在層次最大的兩層上出現，對任一結點，若其右分支下的子孫的最大層為l，則其左分支的子孫的最大層必為l或l+1。

        二叉樹性質：

        (1)在二叉樹的第i層上至多有2^(i-1)(i>=1)個結點。

        (2)深度為k的二叉樹至多有(2^k)-1(k>=1)個結點。

        (3)對任何一棵二叉樹T，如果其終端結點數為n0，度為2的結點數為n2，則n0=n2+1。

        (4)具有n個結點的完全二叉樹的深度為[log2n]+1，其中[log2n]表示取log2n的整數部分。

        (5)如果對一棵有n個結點的完全二叉樹(其深度為[log2n]+1)的結點按層序編號(從第1層到第[log2n]+1層，每層從左至右)，則對任一結點i(1<=i<=n)，有：

        1如果i=1，則結點i是完全二叉樹的根，無雙親；如果i>1，則其雙親PARENT(i)是結點[i/2]。

        2如果2i>n，則結點i無左孩子(結點i為葉子結點)；否則其左孩子LCHILD(i)是結點2i。

        3如果2i+1>n，則結點i無右孩子；否則其右孩子RCHILD(i)是結點2i+1。

        二叉樹的儲存結構

        順序儲存結構

        按照順序儲存結構的定義，在此約定，用一組地址連續的儲存單元一次自上而下，自左至右儲存完全二叉樹的結點元素，即將完全二叉樹編號為i的結點元素儲存在如上定義的一維數組中下標為i-1的分量中。

        順序儲存結構表示：

<span style="font-size:18px;">#define MAX_TREE_SIZE 100typedef char TElemtype;TElemtype SqBiTree[MAX_TREE_SIZE];</span>

        對於上面的滿二叉樹和完全二叉樹的順序儲存結構為：

 

       對於一般的二叉樹的順序儲存結構表示需要用到“空”的結點。

 

       對於上面的一般二叉樹的順序儲存數字0或字元^代表的是空結點。在最壞的情況下，一個深度為k且只有k個結點的單支樹(樹中不存在度為2的結點)需要長度為(2^k)-1的一維數組。

       鏈式儲存結構

       由二叉樹的定義可知，二叉樹的結點是由一個資料元素和分別指向其左，右子樹的兩個分支構成，因此表示二叉樹的鏈式儲存中的結點至少包含3個域：資料域，左，右指標域。最常用的就是二叉樹的二叉鏈表格儲存體結構。

 

二叉鏈表的結點結構

 

 二叉鏈表

        為了方便訪問某結點的雙親，還可以給鏈表結點增加一個雙親欄位parent,用來指向其雙親結點。每個結點由四個域組成，其結點結構為：

 

          這種儲存結構既便於尋找孩子結點，又便於尋找雙親結點；但是，相對於二叉鏈表格儲存體結構而言，它增加了空間開銷。利用這樣的結點結構表示的二叉樹的鏈式儲存結構被稱為三叉鏈表。

 

       還是來看最常用的二叉樹的二叉鏈表格儲存體表示：

<span style="font-size:18px;">typedef struct BiTNode//重新定義二叉樹的二叉鏈表的結構{   TElemType   data;   struct  BiTNode   *lchild,*rchild; //左右孩子指標}BiTNode,*BiTree;</span>

        二叉鏈表的基本操作：

<span style="font-size:18px;">Status createBiTree(BiTree &T)按先序次序輸入二叉樹額結點的值(一個字元)，#字元表示Null 字元構造二叉鏈表表示的二叉樹TStatus PreOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType e))採用二叉鏈表格儲存體結構，Visit是對結點操作的應用函數先序遍曆二叉樹T，對每個結點調用Visit一次且僅一次一旦Visit()操作失敗，則操作失敗Status InOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType e))採用二叉鏈表格儲存體結構，Visit是對結點操作的應用函數中序遍曆二叉樹T，對每個結點調用Visit一次且僅一次一旦Visit()操作失敗，則操作失敗Status PostOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType e))採用二叉鏈表格儲存體結構，Visit是對結點操作的應用函數後序遍曆二叉樹T，對每個結點調用Visit一次且僅一次一旦Visit()操作失敗，則操作失敗Status LeveleOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType e))採用二叉鏈表格儲存體結構，Visit是對結點操作的應用函數層序遍曆二叉樹T，對每個結點調用Visit一次且僅一次一旦Visit()操作失敗，則操作失敗</span>