【BZOJ】3173: [Tjoi2013]最長上升子序列（樹狀數組）

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【題意】給定ai，將1~n從小到大插入到第ai個數字之後，求每次插入後的LIS長度。

【演算法】樹狀數組||平衡樹

【題解】

這是樹狀數組的一個用法：O(n log n)尋找首碼和為k的最小位置。（當數列中只有0和1時，轉化為求對應排名的數字，就是簡單代替平衡樹）

根據樹狀數組的二進位分組規律，從大到小進行倍增，可以發現每次需要加的Σa[i],i∈(now,now+(1<<i)]剛好就是c[now+(1<<i)]。

文字表述就是，跳躍到的位置的c[]剛好表示中間跳躍的數字和，這是樹狀數組二進位分組規律的特殊性質。

還需要注意的是，實際上需要尋找首碼和<k的最大位置，最後+1。(否則會被目標數字後面的0幹擾）

 

利用上述的方法，初始樹狀數組全部置為1，然後從n到1倒著尋找並刪除，就可以得到每個數字在最終序列中的位置。

這道題由於從小到大插入，可以發現將所有數字全部插入也不會破壞過程中需要的LIS（只會在最後增長）。

那麼第i個答案就是以數字1~i結尾的LIS的最長長度。

所以令f[i]表示最終序列中以數字 i 結尾的LIS，則第i個答案就是min(f[j]),j=1~i。（是數字i，不是第i個位置）

求解f[i]只需在O(n log n)求解整個最終序列的LIS的過程中求出即可。

總複雜度O(n log n)。

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cctype>#define lowbit(x) (x&-x)using namespace std;const int maxn=100010;int a[maxn],b[maxn],c[maxn],g[maxn],anss[maxn],n;int read(){    char c;int s=0,t=1;    while(!isdigit(c=getchar()))if(c==‘-‘)t=-1;    do{s=s*10+c-‘0‘;}while(isdigit(c=getchar()));    return s*t;}void insert(int x,int k){for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))c[i]+=k;}int find(int x){    int now=0,ans=0;    for(int i=20;i>=0;i--){        now+=(1<<i);        if(now<n&&ans+c[now]<x)ans+=c[now];//< near        else now-=(1<<i);    }    now++;    insert(now,-1);    return now;}int max(int a,int b){return a<b?b:a;}int main(){    n=read();    for(int i=1;i<=n;i++){        a[i]=read();        c[i]++;c[i+lowbit(i)]+=c[i];    }    for(int i=n;i>=1;i--)b[find(a[i]+1)]=i;    int m=0;    for(int i=1;i<=n;i++){        int s=lower_bound(g+1,g+m+1,b[i])-g;        if(s>m)g[++m]=b[i];else g[s]=b[i];        anss[b[i]]=s;    }    for(int i=1;i<=n;i++){        anss[i]=max(anss[i-1],anss[i]);        printf("%d\n",anss[i]);    }    return 0;}

View Code

 

最後，代碼中運用的線性構造樹狀數組，原理十分簡單。

首先要求1~n都有數字（0也行），然後每個數加到自身c[i]+=a[i]，再貢獻一下父親c[i+lowbit(i)]+=c[i]就可以了。

【BZOJ】3173: [Tjoi2013]最長上升子序列（樹狀數組）