【BZOJ2127】happiness

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　　高一一班的座位表是個n*m的矩陣，經過一個學期的相處，每個同學和前後左右相鄰的同學互相成為了好朋友。這學期要分文理科了，每個同學對於選擇文科與理科有著自己的喜悅值，而一對好朋友如果能同時選文科或者理科，那麼他們又將收穫一些喜悅值。作為電腦競賽教練的scp大老闆，想知道如何分配可以使得全班的喜悅值總和最大。

Input

　　第一行兩個正整數n，m。接下來是六個矩陣第一個矩陣為n行m列 此矩陣的第i行第j列的數字表示座位在第i行第j列的同學選擇文科獲得的喜悅值。第二個矩陣為n行m列 此矩陣的第i行第j列的數字表示座位在第i行第j列的同學選擇理科獲得的喜悅值。第三個矩陣為n-1行m列 此矩陣的第i行第j列的數字表示座位在第i行第j列的同學與第i+1行第j列的同學同時選擇文科獲得的額外喜悅值。第四個矩陣為n-1行m列 此矩陣的第i行第j列的數字表示座位在第i行第j列的同學與第i+1行第j列的同學同時選擇理科獲得的額外喜悅值。第五個矩陣為n行m-1列 此矩陣的第i行第j列的數字表示座位在第i行第j列的同學與第i行第j+1列的同學同時選擇文科獲得的額外喜悅值。第六個矩陣為n行m-1列 此矩陣的第i行第j列的數字表示座位在第i行第j列的同學與第i行第j+1列的同學同時選擇理科獲得的額外喜悅值。

Output

　　輸出一個整數，表示喜悅值總和的最大值

Sample Input　　1 2
　　1 1
　　100 110
　　1
　　1000
Sample Output　　1210
　　【範例說明】
　　   兩人都選理，則獲得100+110+1000的喜悅值。
　　【資料規模】
           對於100%以內的資料，n,m<=100 所有喜悅值均為小於等於5000的非負整數 Solution

　　這種相鄰格子的問題，一般都是考慮兩個相鄰的格子的最小割模型，然後把所有模型疊加起來。

　　現在考慮相鄰的兩人$x$和$y$。$x$選文或理的收益是$x_0,x_1$；$y$選文或理的收益是$y_0,y_1$；都選文的收益是$s_0$，都選理的收益是$s_1$。

　　那麼從總收益$sum=x_0+x_1+y_0+y_1+s_0+s_1$中減去最小割就是最優解。

　　考慮一下邏輯關係：

　　　　(1)如果$x$和$y$都選文，那麼需要割去$x_1,y_1,s_1$

　　　　(2)如果$x$和$y$都選理，那麼需要割去$x_0,y_0,s_0$

　　　　(3)如果$x$文$y$理，那麼需要割去$x_1,y_0,s_0,s_1$

　　　　(4)如果$x$理$y$文，那麼需要割去$x_0,y_1,s_0,s_1$

　　發現一個人選一科，必定割掉另外一科的喜悅值。那麼由源點$S$向$x$連$x_0$的邊，向$y$連$y_0$的邊；$x$向匯點$T$連$x_1$的邊，向$y$連$y_1$的邊。

　　

　　　現在，(1)和(2)還差$s_0$和$s_1$未刻畫。因為割掉兩條邊以後貌似圖就徹底分開了，不好再加入新的邊來體現，我們考慮將$s_0$附加在$x_0$與$y_0$上，將$s_1$附加在$x_1$與$y_1$上，即各分一半：

　　　

　　(1)和(2)刻畫完畢。但是(3)和(4)在其中不適用了。

　　如果$x$選文，$y$選理，那麼割去的邊是右上和左下兩條邊，其權值之和是$x_1+\frac{1}{2}s_1+y_0+\frac{1}{2}s_0$，但是我們期望的是$x_1+y_0+s_0+s_1$，不對啊。

　　怎麼辦？期望值和當前值一作差，得$\frac{1}{2}s_0+\frac{1}{2}s_1=\frac{1}{2}(s_0+s_1)$。想辦法把它執行個體化！當割去的是右上和左下兩條邊時，已經形成最小割，那麼強行把這條邊塞進去！由$y$向$x$連一條權值為$\frac{1}{2}(s_0+s_1)$的調整邊即可。

　　$x$理$y$文同理。

　　

　　中間的兩條調整邊，僅在二者文理不同的時候起作用。現在這個模型，已經可以刻畫(1)~(4)所有的情況了。

　　對全圖進行建模，跑出最小割，用總收益和減去最小割即可。

Important:

　　我們不能對於每兩個格子都像如上模型一樣串連$(S,x),(S,y),(x,T),(y,T)$，將總收益和看做每兩個格子的$sum$之和，然後將模型並起來跑。

　　為什嗎？因為這樣我們會發現某一些$x_0$、$x_1$和$y_0$、$y_1$被多算了幾次，這是極不好的，模型之間出現了交集。

　　事實上對於一個點$x$，我們將所有$S$->$x$的邊都合并起來：即權值應該為：$x_0$或$y_0$加上$\frac{1}{2} \sum s_0$。$x$到$T$的邊同理。

　　而中間的調整邊照常即可。

　　這樣當$sum$為所有格子的收益和的時候，用$sum$減去最小割的答案是對的。

Tips:

　　可以將邊權乘上2，跑出最小割後除以2，即可忽略小數。

#include <cstdio>#include <queue>using namespace std;const int N=10010,INF=2147000000;int n,m,a[110][110],b[110][110],ax[110][110],ay[110][110],bx[110][110],by[110][110];int sum;int S,T,dis[N],cur[N],h[N],tot;queue<int> q;struct Edge{int v,next,f;}g[N*20];inline int id(int x,int y){return (x-1)*m+y;}inline int min(int x,int y){return x<y?x:y;}inline void addEdge(int u,int v,int f){    g[++tot].v=v; g[tot].f=f; g[tot].next=h[u]; h[u]=tot;    g[++tot].v=u; g[tot].f=0; g[tot].next=h[v]; h[v]=tot;}bool bfs(){    while(!q.empty()) q.pop();    q.push(S);    for(int i=1;i<=T;i++) dis[i]=-1;    dis[S]=0;    while(!q.empty()){        int u=q.front(); q.pop();        for(int i=h[u],v;i;i=g[i].next)            if(g[i].f&&dis[v=g[i].v]==-1){                dis[v]=dis[u]+1;                if(v==T) return true;                q.push(v);            }    }    return dis[T]!=-1;}int dfs(int u,int delta){    if(u==T) return delta;    int ret=0,get;    for(int i=cur[u],v;i&&delta;i=g[i].next)        if(g[i].f&&dis[v=g[i].v]==dis[u]+1){            get=dfs(v,min(delta,g[i].f));            g[i].f-=get;            g[i^1].f+=get;            if(g[i].f) cur[u]=i;            delta-=get;            ret+=get;        }    if(!ret) dis[u]=-1;    return ret;}int dinic(){    int ret=0;    while(bfs()){        for(int i=1;i<=T;i++) cur[i]=h[i];        ret+=dfs(S,INF);    }    return ret;}int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]),sum+=a[i][j];    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&b[i][j]),sum+=b[i][j];    for(int i=1;i<n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&ax[i][j]),sum+=ax[i][j];    for(int i=1;i<n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&bx[i][j]),sum+=bx[i][j];    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<m;j++) scanf("%d",&ay[i][j]),sum+=ay[i][j];    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<m;j++) scanf("%d",&by[i][j]),sum+=by[i][j];    S=n*m+1; T=n*m+2; tot=1;    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=m;j++){            int u=id(i,j);            addEdge(S,u,a[i][j]*2+ax[i-1][j]+ax[i][j]+ay[i][j-1]+ay[i][j]);            addEdge(u,T,b[i][j]*2+bx[i-1][j]+bx[i][j]+by[i][j-1]+by[i][j]);            if(i<n){                addEdge(u,id(i+1,j),ax[i][j]+bx[i][j]);                addEdge(id(i+1,j),u,ax[i][j]+bx[i][j]);            }            if(j<m){                addEdge(u,id(i,j+1),ay[i][j]+by[i][j]);                addEdge(id(i,j+1),u,ay[i][j]+by[i][j]);            }        }    int get=dinic();    get/=2;    printf("%d\n",sum-get);    return 0;}

奇妙代碼

 

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