Bzoj4481 [Jsoi2015]非誠勿擾

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Description

【故事背景】
JYY趕上了互連網創業的大潮，為非常勿擾開發了最新的手機App實現單身大齡青年之間的“速配”。然而隨著使用者數量的增長，JYY發現現有速配的演算法似乎很難滿足大家的要求，因此JYY決定請你來調查一下其中的原因。
【問題描述】
應用的後台一共有N個女性和M個男性，他們每個人都希望能夠找到自己的合適伴侶。為了方便，每個男性都被編上了1到N之間的一個號碼，並且任意兩個人的號碼不一樣。每個女性也被如此編號。

JYY應用的最大特點是賦予女性較高的選擇權，讓每個女性指定自己的“如意郎君列表”。每個女性的如意郎君列表都是所有男性的一個子集，並且可能為空白。如果列表非空，她們會在其中選擇一個男性作為自己最終接受的對象。
JYY用如下演算法來為每個女性速配最終接受的男性：將“如意郎君列表”中的男性按照編號從小到大的順序呈現給她。對於每次呈現，她將獨立地以P的機率接受這個男性（換言之，會以1−P的機率拒絕這個男性）。如果她選擇了拒絕，App就會呈現列表中下一個男性，以此類推。如果列表中所有的男性都已經呈現，那麼中介所會重新按照列表的順序來呈現這些男性，直到她接受了某個男性為止。
顯然，在這種規則下，每個女性只能選擇接受一個男性，而一個男性可能被多個女性所接受。當然，也可能有部分男性不被任何一個女性接受。這樣，每個女性就有了自己接受的男性（“如意郎君列表”為空白的除外）。現在考慮任意兩個不同的、如意郎君列表非空的女性a和b，如果a的編號比b的編號小，而a選擇的男性的編號比b選擇的編號大，那麼女性a和女性b就叫做一對不穩定因素。
由於每個女性選擇的男性是有一定的隨機性的，所以不穩定因素的數目也是有一定隨機性的。JYY希望你能夠求得不穩定因素的期望個數（即平均數目），從而進一步研究為什麼速配演算法不能滿足大家的需求。

Input

輸入第一行包含2個自然數N,M，表示有N個女性和N個男性，以及所有女
性的“如意郎君列表”長度之和是M。
接下來一行一個實數P，為女性接受男性的機率。
接下來M行，每行包含兩個整數a,b，表示男性b在女性a的“如意郎君列表”
中。
輸入保證每個女性的“如意郎君列表”中的男性出現切僅出現一次。
1≤N,M≤500,000，0.4≤P<0.6

Output

輸出1行，包含一個實數，四捨五入後保留到小數點後2位，表示不穩定因素的期望數目。

Sample Input5 5
0.5
5 1
3 2
2 2
2 1
3 1Sample Output0.89HINTSource

By 佚名上傳

 

數學問題 期望 腦洞題

期望還能這麼玩兒，真的神奇。

 

女方如果選中某個人，可能是第一輪選中的，也可能是第一輪沒選人，在第二輪選中的，也可能在第三輪，第四輪……

看上去是個無限項的等比數列求和。

利用等比數列公式計算女方選某個人的機率：

　　$ \frac{a_1*(1-p^n)}{1-p}$

在n無窮大的時候$ p^n $趨近於0，可以直接忽視掉。

這樣就可以算出這個位置被選的機率。

這樣，之後開始選擇的女方如果選了某個更靠前位置，就多了這麼些機率貢獻一個逆序對。

將邊按雙關鍵字排序，用樹狀數組維護一個類似逆序對的東西即可。

數據卡精度，需要long double

 1 /*by SilverN*/ 2 #include<iostream> 3 #include<algorithm> 4 #include<cstdio> 5 #include<cmath> 6 #include<cstring> 7 using namespace std; 8 const int mxn=500010; 9 int read(){10     int x=0,f=1;char ch=getchar();11     while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}12     while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}13     return x*f;14 }15 struct edge{16     int x,y;17     bool operator < (const edge &b)const{18         return ((x==b.x && y<b.y) || x<b.x);19     }20 }a[mxn],c[mxn];21 //22 int n,m;23 int len[mxn];24 long double P,pr[mxn];25 long double t[mxn];26 void add(int x,double v){while(x<=n){t[x]+=v;x+=x&-x;}}27 long double ask(int x){double res=0.0;while(x){res+=t[x];x-=x&-x;}return res;};28 inline long double GetP(int x,int y){return P*pr[y-1]/(1-pr[len[x]]);}29 int main(){30 //    freopen("in.txt","r",stdin);31     n=read();m=read();scanf("%Lf",&P);32     pr[0]=1.0;33     for(int i=1;i<=m;i++){pr[i]=pr[i-1]*(1-P);}34     for(int i=1;i<=m;i++){35         a[i].x=read();a[i].y=read();len[a[i].x]++;36     }37     sort(a+1,a+m+1);38     long double ans=0.0;39     int hd=1;40     for(int i=1;i<=n;i++){//枚舉左邊41         if(a[hd].x!=i)continue;42         int cnt=0;43         while(a[hd].x==i){44             ++cnt;45             add(a[hd].y,GetP(i,cnt));46             ans+=GetP(i,cnt)*(ask(n)-ask(a[hd].y));47             hd++;48         }49     }50     printf("%.2f\n",(double)ans);51     return 0;52 }

 

Bzoj4481 [Jsoi2015]非誠勿擾