c++浮點數儲存方式

最近一段時間看到版上關於C++裡浮點變數精度的討論比較多，那麼我就給對這個問題有疑惑的人詳細的講解一下intel的處理器上是如何處理浮點數的。為了能更方便的講解，我在這裡只以float型為例，從儲存結構和演算法上來講，double和float是一樣的，不一樣的地方僅僅是float是32位的，double是64位的，所以double能儲存更高的精度。還要說的一點是文章和程式一樣，相容性是有一定範圍的，所以你想要完全讀懂本文，你最好對二進位、十進位、十六進位的轉換有比較深入的瞭解，瞭解資料在記憶體中的儲存結構，並且會使用VC.net編譯簡單的控制台程式。OK，下面我們開始。

       大家都知道任何資料在記憶體中都是以二進位（1或著0）順序儲存的，每一個1或著0被稱為1位，而在x86CPU上一個位元組是8位。比如一個16位（2位元組）的short int型變數的值是1156，那麼它的二進位表達就是：00000100 10000100。由於Intel CPU的架構是Little Endian（請參數機算機原理相關知識），所以它是按位元組倒序儲存的，那麼就因該是這樣：10000100 00000100，這就是定點數1156在記憶體中的結構。

       那麼浮點數是如何儲存的呢？目前已知的所有的C/C++編譯器都是按照IEEE（國際電子電器工程師協會）制定的IEEE 浮點數標記法來進行運算的。這種結構是一種科學標記法，用符號（正或負）、指數和尾數來表示，底數被確定為2，也就是說是把一個浮點數表示為尾數乘以2的指數次方再加上符號。下面來看一下具體的float的規格：

float
共計32位，摺合4位元組
由最高到最低位分別是第31、30、29、……、0位
31位是符號位，1表示該數為負，0反之。
30-23位，一共8位是指數位。
22-0位，一共23位是尾數位。
每8位分為一組，分成4組，分別是A組、B組、C組、D組。
每一組是一個位元組，在記憶體中逆序儲存，即：DCBA

       我們先不考慮逆序儲存的問題，因為那樣會把讀者徹底搞暈，所以我先按照順序的來講，最後再把他們翻過來就行了。

        現在讓我們按照IEEE浮點數標記法，一步步的將float型浮點數12345.0f轉換為十六進位代碼。在處理這種不帶小數的浮點數時，直接將整數部轉化為二進位表示：1 11100010 01000000也可以這樣表示：11110001001000000.0然後將小數點向左移，一直移到離最高位只有1位，就是最高位的1：1.11100010010000000一共移動了16位，在布耳運算中小數點每向左移一位就等於在以2為底的科學計演算法表示中指數+1，所以原數就等於這樣：1.11100010010000000 * ( 2 ^ 16 )好了，現在我們要的尾數和指數都出來了。顯而易見，最高位永遠是1，因為你不可能把買了16個雞蛋說成是買了0016個雞蛋吧？（呵呵，可別拿你買的臭雞蛋甩我~），所以這個1我們還有必要保留他嗎？（眾：沒有！）好的，我們刪掉他。這樣尾數的二進位就變成了：11100010010000000最後在尾數的後面補0，一直到補夠23位：11100010010000000000000（MD，這些個0差點沒把我數的背過氣去~）

       再回來看指數，一共8位，可以表示範圍是0 - 255的不帶正負號的整數，也可以表示-128 - 127的有符號整數。但因為指數是可以為負的，所以為了統一把十進位的整數化為二進位時，都先加上127，在這裡，我們的16加上127後就變成了143，二進位表示為：10001111
12345.0f這個數是正的，所以符號位是0，那麼我們按照前面講的格式把它拼起來：
0 10001111 11100010010000000000000
01000111 11110001 00100000 00000000
再轉化為16進位為：47 F1 20 00，最後把它翻過來，就成了：00 20 F1 47。
現在你自己把54321.0f轉為二進位表示，自己動手練一下！

       有了上面的基礎後，下面我再舉一個帶小數的例子來看一下為什麼會出現精度問題。
按照IEEE浮點數標記法，將float型浮點數123.456f轉換為十六進位代碼。對於這種帶小數的就需要把整數部和小數部分開處理。整數部直接化二進位：100100011。小數部的處理比較麻煩一些，也不太好講，可能反著講效果好一點，比如有一個十進位純小數0.57826，那麼5是十分位，位階是1/10；7是百分位，位階是1/100；8是千分位，位階是1/1000……，這些位階分母的關係是10^1、10^2、10^3……，現假設每一位的序列是{S1、S2、S3、……、Sn}，在這裡就是5、7、8、2、6，而這個純小數就可以這樣表示：n = S1 * ( 1 / ( 10 ^ 1 ) ) + S2 * ( 1 / ( 10 ^ 2 ) ) + S3 * ( 1 / ( 10 ^ 3 ) ) + …… + Sn * ( 1 / ( 10 ^ n ) )。把這個公式推廣到b進位純小數中就是這樣：
n = S1 * ( 1 / ( b ^ 1 ) ) + S2 * ( 1 / ( b ^ 2 ) ) + S3 * ( 1 / ( b ^ 3 ) ) + …… + Sn * ( 1 / ( b ^ n ) )

        天哪，可惡的數學，我怎麼快成了數學老師了！沒辦法，為了廣大編程愛好者的切身利益，喝口水繼續！現在一個二進位純小數比如0.100101011就應該比較好理解了，這個數的位階序列就因該是1/(2^1)、1/(2^2)、1/(2^3)、1/(2^4)，即0.5、0.25、0.125、0.0625……。乘以S序列中的1或著0算出每一項再相加就可以得出原數了。現在你的基礎知識因該足夠了，再回過頭來看0.45這個十進位純小數，化為該如何表示呢？現在你動手算一下，最好不要先看到答案，這樣對你理解有好處。