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堆排序

在堆排序中，我們可以將順序表看成一顆完全的二叉樹

二叉樹知識回顧：

 從1開始對二叉樹中的每個節點順序編號

 

序列 ： [  # , C, H, G, E, A, D, I, F, B, K ]

索引             1   2  3  4  5  6  7  8  9  10

 

 

所以編號為 i 的 左孩子節點編號為 2*i  ； 右孩子節點編號為 2*i+ 1，

除了根節點，如果一個節點編號為 j  那麼���的雙親節點為    j//2 

如果將序列R[1,n] 視作一個完全二叉樹，那麼  R[i] 的左孩子是R[2i] 右孩子則為R[2i+1]

堆：

n個值的序列K[1],K[2],K[3]……K[n] 稱之為堆。

該序列滿足一下特性

大根堆： K[i] >= K[2*i] 且 K[i] > = K[2*i +1]     i 的範圍 1 ~ n//2

小根堆： K[i] <= K[2*i] 且 K[i] <= K[2*i +1] 

 

如圖所示

　　　　　　小根堆

 

 

　　　　大根堆

 

 

 

堆排序的簡單過程是：

1、根據序列，構建一個初始堆   （大根堆/小根堆）

2、交換堆的第一個和最後一個元素。

3、排除最後一個元素，將序列第一個到倒數第二個重新整理成 堆。

4、再次交換堆的第一個和最後一個元素

5、重複 第3 步

6 、重複上述過程直至完成排序

 

再說簡單點就是：構造堆，交換元素、構造堆，交換元素，構造堆。。。。。。

 

從上述 6步的第三步——交換第一個和最後一個元素，而且該動作會在每次整理完堆之後，都會重複進行。所以我們就知道，序列的最後一個元素總是當前堆的最大/最小元素。所以，第一步，我們究竟是要構建大根堆還是小根堆，是要看我們打算順序排序序列還是要倒序排序序列。

 

在下面的例子中我們 順序排序 序列，也就說 構建 大根堆。

有這樣一個序列

A  = [ –,   1,  0,  3,  6,  2,  8,  4,  9,  7,  5 ]

構建二叉樹，樹節點從 1  開始 編號。所以A[0] 為佔位作用。初始二叉樹如下：

 

 

 

 開始構建大根堆。

1、從最後一個非葉子節點開始。比較 節點 和它的 最大 孩子節點，如果 如果節點大，那麼就保持不變。如果孩子節點大，那麼就交換孩子節點和該節點的值。

在本例中，最後一個非葉子節點是 序號為 5，值為 2 的節點。比較它和它的最大孩子節點。發現5 >2 所以交換他和他的孩子。

2、然後查看倒數第二個非葉子節點，也就是 序號為4 值為 6 的節點。同樣比較它和它的最大孩子節點。發現，6<9 也需要交換[下圖中紅色部分]

3、然後繼續查看倒數第三個非葉子節點，也就是 序號為 3 值為3 的節點，同樣比較它和它的最大孩子節點，發現 8>3 ，也需要交換[下圖中灰色部分]

 

4,然後繼續比較倒數第四個非葉子節點。即 序號為2 值為 0 的 節點。比較它和它的最大孩子節點  ，發現0<9，交換2者。。。。。 莫急，你再往下看會發現即使0 和 9 交換了，0還是比它現在的最大孩子節點（7）小，所以，還要繼續交換 0 和7 最終結果就是下圖：

 

 5，接下來移動序號為1，值為1 的節點。。。重複上述過程，最終構造出的大根堆如下：

這就是完成構造初始堆的過程。函數如下：

def fixDown(a, i, n):  # i 是指當前節點 n 為序列中所有元素的最大索引。二叉樹中 最後一個節點的 序號    while 2 * i <= n:   # j = 2*i  即 當前節點的左孩子。它必須在所有節點的序號範圍內。如果j > n 了說明 i 是葉子節點。        j = 2 * i        if j < n and a[j] < a[j + 1]:  # 選出左右孩子節點中更大的那個。注意一：下面詳說。            j += 1        if a[i] < a[j]: # 如果雙親節點小於孩子節點，那麼交換雙親節點和子節點。同時向下移動 i 的位置。i 的範圍是[1-n//2]            a[i], a[j] = a[j], a[i]            i = j        else:  #如果雙親節點大於他的最大的孩子，那麼說明這個小的二叉樹構建堆完成。            break

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注意一： 這條語句中使用了短路原則。即：如果 j < n 為假那麼就不再對後面的條件進行判斷。直接跳過該條件陳述式，進行下面的語句。為什麼在本條件陳述式中 要求 j != n,在本例中 j = 10，如果 條件陳述式改成 j<= n ，10 <=10，第一個條件成立了，那麼無疑會繼續驗證第二個條件是否成立，然而對照本例你會發現，根本沒有第11個節點,即a[j+1] 是不存在的。所以這會給程式引發一個超出索引的錯誤。

 

 

初始化堆的，同時也是整理堆的函數有了，那麼接下來就是在堆排序的主函數中調用這個函數，進行堆排序了，還是先用圖示範一下，再給代碼。

回顧一下上述的 堆排序的過程 。構造堆已經完成了，那麼就該交換第一個節點和最後一個節點了。然後，將最後一個節點排除，用剩下的節點再次構建堆。

 

重新構造堆如下：

交換第一個和最後一個如下：

 

 

 重複上面的過程直至再也沒有可以構建堆的節點了。排序完成。

代碼如下：

def heapSort(A):    n = len(A) - 1  # 因為加入了一個佔位元素，所以構建堆的實際元素個數應該 減去 1    for i in range(n // 2, 0, -1):  #構建初始堆。 從最後一個非葉子節點開始構建堆。地板除 1是為了防止出現小數，2是取下界。        fixDown(A, i,n)     # 調用上面的那個構造堆的函數，構造出初始化堆。    print('A=',A)           #這裡可以看一下 初始化堆之後的序列的 各個元素的排列順序    while n > 1:           # n 表示 堆的最後一個節點的序號        A[1], A[n] = A[n], A[1]   #  交換堆的第一個和最後一個 節點        fixDown(A, 1, n-1)     #  重新整理堆剩下的節點，再次構建 根堆        n -= 1                # 每次交換之後，已經排好序的節點就被排除出堆，所以堆的最後一個節點的向前移動一位。    return A[1:]             #因為我們使用了佔位元素，所以返回從 所以為 1 及其以後得元素。A = [ '--',   1,  0,  3,  6,  2,  8,  4,  9,  7,  5 ] # 第一個元素不用，佔位print(heapSort(A))

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這裡再說一下：

因為我們是從小到大排列 序列。所以每次都是讓 讓  A[i] 和他子節點中比較大的那個進行比較，然後大的上浮，小的下沉。從而構建大根堆

 

如果我們想要從大到小 逆序排列的話

那麼就要讓 A[i] 和它 的子節點中 較小的那個比較，小的上浮，大的下沉。

所以 構造堆的代碼如下：

def fixDown(a, i, n):  # i 是指當前節點 n 為序列中所有元素的最大索引。二叉樹中 最後一個節點的 序號    while 2 * i <= n:   # j = 2*i  即 當前節點的左孩子。它必須在所有節點的序號範圍內。如果j > n 了說明 i 是葉子節點。        j = 2 * i        if j < n and a[j] > a[j + 1]:  # 選出左右孩子節點中更 。。小。。  的那個            j += 1        if a[i] > a[j]: # 如果雙親節點。。 大於 。。孩子節點，那麼交換雙親節點和子節點。同時向下移動 i 的位置。i 的範圍是[1-n//2]            a[i], a[j] = a[j], a[i]            i = j        else:  #如果雙親節點。。小於。。他的。。最小。。的孩子，那麼說明這個小的二叉樹構建堆完成。            break