笛卡爾乘積介紹

笛卡爾（Descartes）乘積又叫直積。假設集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，則兩個集合的笛卡爾積為{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)}。可以擴充到多個集合的情況。類似的例子有，如果A表示某學校學生的集合，B表示該學校所有課程的集合，則A與B的笛卡爾積表示所有可能的選課情況。

在數學中，兩個集合 X 和 Y 的笛卡兒積（Cartesian product），又稱直積，表示為 X × Y，是其第一個對象是 X 的成員而第二個對象是 Y 的一個成員的所有可能的有序對：

。

笛卡兒積得名於笛卡兒，他的解析幾何的公式化引發了這個概念。

具體的說，如果集合 X 是 13 個元素的點數集合 { A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } 而集合 Y 是 4 個元素的花色集合 {, , , }，則這兩個集合的笛卡兒積是 52 個元素的標準撲克牌的集合 { (A, ), (K, ), ..., (2, ), (A, ), ..., (3, ), (2, ) }。

目錄

• 1 笛卡兒積的性質
• 2 笛卡兒平方和 n-元乘積
• 3 無窮乘積
• 4 函數的笛卡兒積
• 5 外部連結
• 6 參見 笛卡兒積的性質

易見笛卡兒積滿足下列性質：

• 對於任意集合 A，根據定義有
• 一般來說笛卡兒積不滿足交換律和結合律。
• 笛卡兒積對集合的並和交滿足分配律，即

笛卡兒平方和 n-元乘積

集合 X 的笛卡兒平方(或二元笛卡兒積)是笛卡兒積 X × X。一個例子是二維平面 R × R，這裡 R 是實數的集合 - 所有的點 (x,y)，這裡的 x 和 y 是實數(參見笛卡兒座標系)。

可以推廣出在 n 個集合 X1, ..., Xn 上的 n-元笛卡兒積:

。

實際上，它可以被認同為 (X1 × ... × Xn-1) × Xn。它也是 n-元組的集合。

一個例子是歐幾裡得三維空間 R × R × R，這裡的 R 再次是實數的集合。

為了輔助它的計算，可繪製一個表格。一個集合作為行而另一個集合作為列，從行和列的集合選擇元素形成有序對作為表的儲存格。

無窮乘積

對最常用的數學應用而言上述定義通常就是所需要的全部。但是有可能在任意(可能無限)的集合的搜集上定義笛卡兒積。如果 I 是任何指標集合，而

是由 I 索引的集合的搜集，則我們定義

，

就是定義在索引集合上的所有函數的集合，使得這些函數在特定索引 i 上的值是 Xi 的元素。

對在 I 中每個 j，定義自

的函數

叫做第 j 投影映射。

n-元組可以被看作在 {1, 2, ..., n} 上的函數，它在 i 上的值是這個元組的第 i 個元素。所以，在 I 是 {1, 2, ..., n} 的時候這個定義一致於對有限情況的定義。在無限情況下這個定義是集合族。

特別熟悉的一個無限情況是在索引集合是自然數的集合 的時候: 這正是其中第 i 項對應於集合 Xi 的所有無限序列的集合。再次， 提供了這樣的一個例子:

是實數的無限序列的搜集，並且很容易可視化為帶有有限數目構件的向量或元組。另一個特殊情況(上述例子也滿足它)是在乘積涉及因子 Xi 都是相同的時候，類似於“笛卡兒指數”。則在定義中的無限並集自身就是這個集合自身，而其他條件被平凡的滿足了，所以這正是從 I 到 X 的所有函數的集合。

此外，無限笛卡兒積更少直覺性，儘管有應用於進階數學的價值。

斷言非空集合的任意非空搜集的笛卡兒積為非空等價於選擇公理。

函數的笛卡兒積

如果 f 是從 A 到 B 的函數而 g 是從 X 到 Y 的函數，則它們的笛卡兒積 f×g 是從 A×X 到 B×Y 的函數，帶有

上述可以被擴充到函數的元組和無限指標。