Cepstrum 倒譜複習

讀研期間，常常用到倒譜這一參數，後來工作了主要專註於Audio/speech Codec,倒譜概念反而用得少，今天在看一論文時看到這些文字，覺得很實用就在些複習一下這訊號特性。

   在提取由於載波傳遞的訊號特性時，用Time-Cepstrum 分析會非常有效，能把相關的特性給提取出來。   Cepstrum 在語音辨識特徵參數提取中用到很多，這是因為語音本質的東西往往是聲帶的震動，然後經過聲道和口腔的調製才產生我們可以聽到或拾取的聲音。   通過Cepstrum 分析語音就能將這一本質性的特徵參數提取出來。

1）.倒頻譜的數學描述

倒頻譜函數CF(q)(power cepstrum)其數學運算式為：

      （2.6）

CF(q)又叫功率倒頻譜，或叫對數功率譜的功率譜。工程上常用的是式(2.6)的開方形式，即：

      （2.7）

C0(q)稱為幅值倒頻譜，有時簡稱倒頻譜。

倒頻譜變數q的物理意義

為了使其定義更加明確，還可以定義：

     （2.8）

即倒頻譜定義為訊號的雙邊功率譜對數加權，再取其傅裡葉逆變換，聯絡一下訊號的自相關函數：

看出，這種定義方法與自相關函數很相近，變數q與τ在量綱上完全相同。

為了反映出相位資訊，分離後能恢複原訊號，又提出一種複倒頻譜的運算方法。若訊號x(t)的傅裡葉變換為X(f):

     （2.9）

x(t)的倒頻譜記為：

     （2.10）

顯而易見，它保留了相位的資訊。

倒頻譜與相關函數不同的只差對數加權，目的是使再變換以後的訊號能量集中，擴大動態分析的頻譜範圍和提高再變換的精度。還可以解卷積(褶積)成分，易於對原訊號的分離和識別。

 

（2).倒頻譜的應用

分離資訊通道對訊號的影響

 

圖2.26對數功率譜關係圖。在機械狀態監測和故障診斷中，所測得的訊號，往往是由故障源經系統路徑的傳輸而得到的響應，也就是說它不是原故障點的訊號， 如欲得到該源訊號，必須刪除傳遞通道的影響。如在雜訊測量時，所測得之訊號，不僅有源訊號而且又有不同方向反射回來的回聲訊號的混入，要 提取源訊號，也必須刪除回聲的幹擾訊號。 若系統的輸入為x(t)，輸出為y(t)，脈衝響應函數是h(t)，兩者的時域關係為： y(t)=x(t)*h(t)

頻域為： Y(f)=X(f)*H(f)或Sy(f)=Sx(f)*|H(f)|2

對上式兩邊取對數，則有：

     （2.11）

式(2.72)關係(2.26)所示，源訊號為具有明顯周期特徵的訊號，經過系統特性logGk(f)的影響修正，合成而得輸出訊號logGy(f)。

對於(2.72)式進一步作傅裡葉變換，即可得幅值倒頻譜：

    （2.12）

即：

    （2.13）

以上推導可知，訊號在時域可以利用x(t)與h(t)的卷積求輸出；在頻域則變成X(f)與H(f)的乘積關係；而在倒頻域則變成Cx(q)和Ch(q)相加的關係，使系統特特性Ch(q)與訊號特性Cx(q)明顯區別開來，這對清除傳遞通道的影響很有用處，而用功率譜處理就很難實現。

圖(2.26b)即為相應的倒頻譜圖。從圖上清楚地表明有兩個組成部分：一部分是高倒頻率q2，反映源訊號特徵；另一部分是低倒頻率q1，反映系統的特性。兩部分在倒頻譜圖上佔有不同的倒頻率範圍，根據需要可以將訊號與系統的影響分開，可以刪除以保留源訊號。

用倒頻譜診斷齒輪故障

對於高速大型旋轉機械，其旋轉狀況是複雜的，尤其當裝置出現不對中，軸承或齒輪的缺陷、油膜渦動、磨擦、陷流及品質不對稱等現象時， 則震動更為複雜，用一般頻譜分析方法已經難於辯識(識別反映缺陷的頻率分量)，而用倒頻譜，則會增強識別能力。

如一對工作中的齒輪，在實測得到的震動或雜訊訊號中，包含著一定數量的周期分量。如果齒輪產生缺陷，則其震動或雜訊訊號還將大量 增加諧波分量及所謂的邊帶頻率成分。

什麼叫邊帶頻率，它又是如何產生的？

設在旋轉機械中有兩個頻率w1 與w2 存在，在這二頻率的激勵下，機械震動的響應呈現出周期性脈衝的拍，也就是呈現其振幅以差頻( (w2 -w1)設w2>w1 )進行幅度調製的訊號，從而形成拍的波形，這種調幅訊號是自然產生的。例如調幅波起源於齒輪齧合頻率(齒數×軸轉數)w0的正弦載波，其幅值由於齒輪之偏心影響成為隨時間而變化的某一函數Sm(t) ，於是:

    (2.75)

假設齒輪軸轉動頻率為wm ，則可寫成:

    （2.76）

其圖形(2.27a)所示，看起來象一周期函數，但實際上它並非是一個周期函數，除非w0 與wm成整倍數關係，這在實際應用中，這種情況並不多見。根據三角半形關係， (2.76)式可寫成：

    （2.77）

從(2.77)式不難看出，它是由w0，(w0 +wm)與(w0-wm )三個不同的正弦波之和，具有2.27b)之頻譜圖。這裡(w0 -wm )與(w0 +wm )之差頻與和頻通稱為邊帶頻率。

假如上例中對於一個具有四個輪幅的100個齒的齒輪，其軸准轉數為50轉/秒，而其齧合頻率5000Hz。其幅值(齧合力的大小) 則由每轉四次的周期為200HZ所調製(因為有四個輪幅的影響)。所以在測得的震動分量中，不僅有明顯的軸轉數50HZ及齧合頻率(5000HZ) 外，還有4800HZ及5200HZ的邊帶頻率。

實際上，如果齒輪缺陷嚴重或多種故障存在，以致許多機械中經常出現的不對準、鬆動、及非線性剛度等原因，或者出現拍波截斷等原因時，則邊帶頻率將大量增加。

在一個頻譜圖上出現過多的頻差，難以識別，而倒頻譜圖則有利於識別，2.28所示。圖(a)是一個減速箱的頻譜圖，圖(b)是它的倒頻譜圖。從倒譜圖上清楚地看出，有兩個主要頻率分量:117.6Hz(85ms)及48.8Hz(20.5ms)。