第一章 向量與座標 §1 向量的基本概念

第一章 向量與座標

 

本章教學目的：通過本章學習，使學生掌握向量及其運算的概念，熟練掌握線性運算和非線性運算的基本性質、運算規律和分量表示，會利用向量及其運算建立空間座標系和解決某些幾何問題，為以下各章利用代數方法研究空間圖形的性質打下基礎。

本章教學重點：（1）向量的基本概念和向量間關係的各種刻劃；

（2）向量的線性運算、積運算的定義、運算規律及分量表示。

本章教學痛點：（1）向量及其運算與空間座標系的聯絡；

（2）向量的數量積與向量積的區別與聯絡；

（3）向量及其運算在平面、立體幾何中的應用。

本章教學內容：

 

 

§1 向量的基本概念

1. 定義：既有大小又有方向的量稱為向量，如力、速度、位移等。
   
2. 表示：在幾何上，用帶箭頭的線條表示向量，箭頭表示向量的方向，線條長度代表向量的大小；向量的大小又叫向量的摸（長度）。
   

   始點為A，終點為B的向量，記作，其摸記做。
   

   
   注：為方便起見，今後除少數情形用向量的始、終點字母標記向量外，我們一般用小寫黑體字母a、b、c……標記向量，而用希臘字母λ、μ、ν……標記數量。
   

    

三、兩種特殊向量：

1. 零向量：模等於0的向量為零向量，簡稱零矢，以0記之。
   

註：零向量是唯一方向不定的向量。

 

2、位向量：模等於1的向量稱為單位向量，簡稱單位矢。特別地，與非0向量同向的單位矢稱為的單位矢，記作。

 

四、向量間的幾種特殊關係：

1、平行（共線）：向量a平行於向量b，意即a所在直線平行於b所在直線，記作a∥b，規定：零向量平行於任何向量，

2、相等：向量a等於向量b，意即 ，記作a=b。

規定：所有零矢均相等。

註：二向量相等與否，僅取決於它們的模與方向，而與其位置無關，這種與位置無關的向量稱為自由向量。

3、反向量：與向量模相等但方向相反的向量稱為的反向量，記作，顯然

，零向量的反向量還是其自身。

4、共面向量：平行於同一平面的一組向量稱為共面向量，易見，任兩個向量總是共面的，零向量與任何共面向量組共面。

注：應把向量與數量嚴格區別開來：

①向量不能比較大小，如沒有意義；

②向量嚴禁除法運算，如此類式子不允許出現。