第十章 剛體平面運動 1

1. 剛體平面運動
   

教學目標

1 明確剛體平面運動的特徵，掌握研究平面運動的方法，能夠正確判斷機構中作平面運動的剛體。

2 能熟練地應用各種方法——基點法、瞬心法和速度投影法求平面圖形上任一點的速度。

3 會應用基點法求平面圖形上任一點的加速度。

本章重點

以運動的分解與合成為出發點，研究求平面圖形上各點的速度和加速度的基點法，以求速度為主，速度投影發與瞬心法從基點法推匯出來。

本章痛點

正確理解平面運動分解為隨基點的平動和饒及點的轉動時，選基點的意義和相對基點轉動的運動特徵；速度瞬新的概念。

教學過程

一、平面運動的概念

1．平面運動的概念

引例1：汽車沿直線行駛時，車輪的運動（圖10.1）

車輪的運動 隨著車身的平動+相對車身的轉動。

引例2．曲柄連杆機構的連杆AB的運動

引例3．板擦在黑板上的任意運動

上述運動有何共性？

平面運動定義：剛體運動時其上任一點到某一固定平面的距離始終保持不變，也就是說剛體內的各點都在平行於固定平面的某一平面內運動。

2．力學模型簡化

設剛體作平行於固定平面的運動

A點代表線段的運動

B點代表線段的運動

平面圖形S代表剛體運動

結論：剛體的平面運動可以簡化為平面圖形在其自身平面內的運動。

3．運動方程

確定平面圖形S在座標系內的位置只需確定任一線段AB在中的位置確定AB線段的位置，需確定座標,A點稱為基點。所以平面運動的運動方程：

（10.1）

其上任一點M的運動方程為

（10.2）

式中AM的長度和是常量，所以只要方程（10.1）確定，M點的運動就可確定。

4．運動的分解及分解運動的特性分析

特例分析：在方程（10.1）中，若則"S"作平動 ，若 則"S"作定軸轉動一般情況下，平面運動可以看成為由平動和定軸轉動的合成。

運動分解：研究對象：平面圖形S

靜系：固定平面。

動系：（其中A是"S"上一點，伴隨A作平動,是虛構的一座標系）。

牽連運動：動系隨A點平動。

相對運動：繞A點轉動

所以，平面運動 隨基點A平動+相對基點A轉動。

分解運動特性：

平動：隨基點的不同而不同

轉動：相對不同基點轉過的角位移、角速度和角加速度都是相同的，即轉動與基點選擇無關。

證明1：

證明2：

常量

二．平面圖形的角速度及圖形上各點速度分析

1．基點法（合成法）

平面運動隨基點平動+相對基點的轉動設已知A點速度和角度求圖形上任一點B的速度。

B點的速度為： （10.3）

式中，，其中,式（10.3）只能求2個求知量，通常的已知量

為和的方向。

式（10.3）也可用向量求導得到， 其中是常量。

其中，，，也即

2．速度投影法

將式（10.3）向AB連線和AB連線的正垂向投影，有

（10.4）

（10.5）

式（10.4）稱為速度投影定理，是剛體不變形的屬性，式（10.5）中的正垂向投影過B點作逆時針轉的射線為正方向，10.9中的所指的方向。

例10.111所示，在曲柄連杆機構中，已知曲柄OA長為R，繞O軸以逆時針轉動，求，時，滑塊B的速度及連杆AB的角速度。

解：1. 分析運動：

OA杆定軸轉動，AB杆作平面運動

2．分析速度

OA杆：，AB杆：

只有2個未知量，可求解,由速度合成圖11，有

求得 ，

而

另解：用速度投影法：

AB：

設方向10.12所示

：

（負號說明與假設相反）

（軸指向為正）

(負號說明是順時針轉向的)

問題，若求（C點是AB杆的中點）

例10.2在圖10.13所示的平面機構中，已知，，，OA杆以繞O軸勻速轉動，在圖示位置時，OA、CB沿水平方向，、AC沿鉛垂方向，試求此瞬時（1）杆的角速度 。（2）板上C點速度。

解：1.分析運動

OA杆，杆定軸轉動

ABC作平面運動

2．分析速度

OA：

ABC：

由速度合成圖：

：

3．求 其中

由圖10.13：

問題：若不分析B點速度，求出，能否求出？

例10.3圖10.14中給出一種平面鉸接機構，已知杆的角速度是，杆的角速度是，轉向10.14所示。在圖示瞬時，杆鉛直，杆AC和水平，而杆BC對鉛直線成偏角，又，。試求該瞬時點C的速度。

解：1 分析運動

、杆作定軸轉動，

AC、BC杆作平面運動。

2 分析速度

：

：

AC： （a）

BC： （b）

由式（a）、（b）得：

3． 速度瞬心法

引言：，若，則

此時圖形上各點速度分布10。15所示

速度瞬心：某瞬時平面圖形上速度為零的那一點稱為該瞬時平面圖形的瞬時速度中心，簡稱為速度瞬心，通常用"P"表示。

定理：一般情況下，每瞬時平面圖形上速度瞬心是唯一存在的。

證明：設已知平面圖形上任一點M的速度和平面圖形的角速度，

過M點作10.16所示，MN上一點P的速度為：

與方向相反.

∴ 當時，

當時，只有一個確定的值，且只能在MN直線上有滿足此條件的點，所以定理得證。

找瞬心的幾種方法：

1）已知兩點速度方向

a) ∥

b) ∥且 瞬時平動

c)∥且時，需知、的大小（圖10.19）

2）已知平面圖形沿某一線或面純滾，接觸點瞬心（圖10.20）