第十六章 拉格朗日方程

教學目標：

1． 瞭解動力學普遍方程。

2． 能正確地運用拉格朗日方程建立質點系的運動微分方程。

本章重點、痛點：

選廣義座標，並將質點動能表示為廣義座標和廣義速度的函數。

計算廣義力或將保守系統的勢函數表示為廣義座標的函數。

教學過程：

引言：本章是把達朗伯原理和虛位移原理結合起來，推匯出

求解質點系動力學問題的最普通的方程，是分析動力學的基

礎。

一．動力學普遍方程

設由幾個質點組成的質點系，其

中質點的品質為，其上作

用的主動力為，約束為，

慣性力為= -，

由達朗伯原理，有

任給質點一虛位移，

由虛位移原理，有：

將以上幾個方程相加，有：

若是理想約束，有：

再將= -=-代入，有：

-------動力學普遍方程

或

例16．1 已知：在圖16.2所示滑輪系統中，動滑輪上懸掛重為的重物，繩子繞過定滑輪後懸掛重為的重物，設滑輪和繩子的重量不計，求：重為的重物的加速度

解：1，研究對象：整體系統=1

2，分析主動力（）

3，分析運動，虛加慣性力，

16.2所示，其中

，

，

運動學關係：

4，任給系統一組虛位移示，有，

5，由動力學普遍方程求解：

-(

將慣性力和虛位移關係代入上式，

有：

因為是獨立變數，解得

二．拉格朗日方程

1， 方程推導，

將動力學普遍方程變換為

（a）

將

代入式（a）

右邊=（b）

兩個經典關係式:

（1） , （2）

式（1）的證明：

因為是彼此獨立的，所以

式（2）的證明：

所以

將式（1），（2）代入式（c），有：

左邊=

=

= (d)

將式（b）（d），代入式（a），並移項，得：

完整系統中，是彼此獨立的，可得： -------------- 拉格朗日第二類方程

方程的性質，關於的二階微分方程組，可求解運動及主動力，不能求約束力。

2， 保守系統的拉氏方程

勢函數：廣義力代入拉氏方程,

有

因為，將上式變換為：

令，稱為拉氏函數，可得：

-------------保守系統的拉氏方程

3， 拉格朗日方程的應用

例16.2，已知：三稜柱品質為，與水平面光滑接觸，均質圓柱品質為，半經為，放在三稜柱的斜面上，圓柱與三稜柱之間無相對滑動，不計滾動摩阻，設（圖16.3）

求：三稜柱 和圓柱中心的加速度，

解：1，研究對象：整體，

廣義座標，

2，分析主動力，計算廣義力：

令，

令，

3，分析運動，計算動能，三稜柱 作平動，就作平面運動，

三稜柱的動能：

輪動能：

系統總動能

4， 計算偏導數，代入拉氏方程

,

,

,

,,

5， 求解

,式聯立求解，得，將代入得

， ,所以

例16.3，已知：品質為長度為的均質杆，端與鋼性係數為的彈簧相連並限制在鉛垂方向運動，杆還可以繞過的水平軸擺動，16.4所示，求：杆的運動微分方程，

解：1，研究對象：整體，

廣義座標（圖16.4）

2，分析運動，計算動能

杆作平面運動，

3，分析主動力，計算勢能，並寫出拉氏函數

設平衡時點的位置為座標原點，並設平衡位置為彈力和重力的零勢能點，有：

其中,代入上式，整理後得：

拉氏函數

4，計算偏導數，代入拉氏方程

,

,

,

,