第十八章 機械震動基礎

第十八章 機械震動基礎

教學目標：

1. 掌握建立各種類型但自由度系統震動（自由震動，阻尼震動，強迫震動）微分方程的方法及其解的運算式。理解恢複力、阻尼力和激振力的概念。
   
2. 對各種類型震動規律有清晰的理解，會計算有關的物理量。
   

深刻理解自由震動的固有頻率（或周期）、振幅、初相位角的概念。會應用各種方法求固有頻率。

瞭解阻尼對自由震動的影響。

深刻理解受迫震動的激振力、幅頻曲線、共振和放大稀疏的概念。

1. 懂得如何利用震動現象，以及消振和隔振的原理和方法。
   

本章重點：

單自由度系統自由震動，自由震動的固有頻率和求固有頻率的方法。

單自由度系統受迫震動，受迫震動的幅頻曲線、共振現象。

本章痛點：

衰減震動和有阻尼的受迫震動。

 

1. 震動概述

震動：振子在平衡位置附近的往複運動

震動的力學模型：

1. 電動機及其支承梁組成的系統（圖18- 1）
   

圖18-1a 圖18-1b

 

1. 汽車系統（圖18-2）
   

 

圖18-2a 圖18-2b

 

1. 單自由度的自由震動
   
   1. 質點的自由震動微分方程及其解
      

      設質點的品質為m，彈簧的剛性係數為c，原長為（圖18- 3）
      

       

      
      

      
      圖18-3a
      

      
      

      
      圖18-3b
      

      研究質點

      彈簧力

      靜變形

      有

      令

      得 (18.1)
      

      其解為 （18.2）
      

   2. 自由震動的特點
      
      1. 固有頻率
         

         周期T：(18.3)
         

         頻率：

         固有頻率: （圓頻率） (18.4)
         

         將代入，得

      2. 振幅與初相位
         

         振幅：，相位：，初相位：

         由初始條件求和

         初始條件

         代入式(c)

         解得（18.5）
         

   3. 其它類型的單自由度震動系統
      
      1. 震動系統（圖18-4）
         

      
      

      
      圖18-4
      

      設圓盤對中心軸的轉動慣量為，軸的扭轉剛度為

      
      

      
      (18.6)
      

      固有頻率

      1. 微擺動系統（圖18-5）
         

      
      

      圖18-5
      

      設複擺的品質為m，對轉軸的轉動慣量為，

      
      

      微運動，有 有

      固有頻率

   4. 舉例
      
      1. 設兩彈簧的剛性係數分別為和，震動體的品質為m，試分別求兩彈簧並聯和串聯時，系統的固有頻率。
         

         解： （1）兩彈簧並聯（圖18-6）
         

          

          

          

          

          

          

          

          

圖18-6

1. 兩彈簧串聯（圖18.7）
   

圖18.7

1. 圖18. 8所示無重彈簧梁，當其中部放置品質為m的重物時，其靜撓度為，若將重物在梁未變形位置上無初速釋放。
   

   求：系統的固有頻率和震動規律
   

   
   

   18. 8
   

   解：（1）求靜撓度相當於彈簧靜伸長
   

   
   

   將代入得

（2）震動規律

參看式(18.3)有

初始條件 時

震動規律為

1. 在圖18.9所示重鎮的系統中，擺杆品質為m，長為，兩彈簧的剛性係數分別為和，安裝。杆在水平位置時受力平衡。
   

   求：系統微震動時的固有頻率
   

   
   

   圖18.9
   

   解：研究OA杆
   

   
   

   (a)
   

   時, 由 (b)
   

   將式(b)代入式(a)，有
   

   
   

   即

   固有頻率

   另解：用能量法求解
   

   OA杆作自由震動時，其擺角的變化規律為
   

   
   

   角速度

   最大動能

   選擇平衡位置為勢能零位，OA杆擺過角時的勢能為
   

   
   

   由式(b)可得

   最大勢能：

   機械能守衡

   
   

   其中

2. 18.10均質圓柱品質為m，半徑為r，在水平面上滾而不滑。連在柱心的兩根水平彈簧的剛性係數各為c。
   

   求：系統自由震動的周期
   

    

圖18.10a

 

圖18.10b

解：圓柱作平面運動

將上式對t求導，有

 

即

固有頻率

周期

1. 歸納求的方法
   
   1. 或
   2. 寫出或求解
      
   3. 利用能量法求解