第十五章 虛位移原理 3

例15．6 已知：桁架結構15.10（a）所示,D節點作用集中力，求：1 2 杆的內力。

解：1 求1杆的內力

解除1杆的約束，加力，，，主動力系

任給系統一組虛位移，15.10（b）所示。

虛位移原理：， （a）

虛位移關係 =6 （b）

將式（b）代入式（a），有

是獨立的。 得 其中 sin

2, 求2杆內力

解除杆約束，加力

主動力系（）

任給系統一組虛位移，15.10（c）所示。

虛位移原理：

是獨立的，得

六、以廣義座標表示的質點系的平衡條件

1．一般系統

設質點系中質點的位矢與廣義座標的函數關係為

將上式變分，得 （a）

將式（a）代入虛位移原理 （），有

交換求和順序，有 （b）

令 （c）稱為對應於廣義座標的廣義力或

（d）

式（b）變為

對於完整約束系統,廣義座標的變分，具有完整、雙面、穩定理想約束的質點系，在給定位置保持平衡的必要與充分條件是，對應於每個廣義座標的廣義力等於零。

2．保守系統

設對應於有勢力的勢能函數為，則有

，， （e）

將式（e）代入式（d），有

系統的總勢能函數，有

保守系統的平衡條件為

3．求廣義力的幾種方法

1）解析法：按定義求，即

2）幾何法：由廣義力表示的平衡條件

即

令

令

3）若主動力均為有勢力，寫出勢函數V，利用式

求

例15．7 已知：15.11（a）所示，均質杆OA和AB長度為和，重量為和，在杆AB的B端作用一水平力，在圖示位置平衡。求：平衡時兩杆的位置？

解：研究對象：整體

選廣義座標 主動力系

1． 用解析法求解 座標15.11（a）所示

；

寫各力作用點座標，並對廣義座標求偏導數

求廣義力

令 解得

2．用幾何法求解

令 （圖15.11（b））

虛位移關係：

廣義力求

代入虛位移關係，有

令 （圖15.11（c））

虛位移關係：

求廣義力

代入虎位移關係，有

令 可得

3． 、、均為有勢力。力的等勢面為鉛直平面

系統的的勢能函數為

求廣義力

與前2種情況求得、相同

例15．9 已知：15。12所示為滑輪系統，設A、B、C物各重為、、，不計輪重。

求：使系統平衡時，重物C的重量及重物A與水平面間的滑動磨擦係數。

解：研究對象：整體

選廣義座標和，主動力系

用幾何法求解

令 此時

廣義力

令 此時

廣義力

令 解得

力求磨擦係數，需求，解除水平面約束，加，令

而得

因此平衡時,A物與平台的磨擦係數為