漫談經典排序演算法:五、線性時間排序(計數、基數、桶排序)

1、序言

這是《漫談經典排序演算法系列》第五篇，給出了三種線性時間排序，分別是計數排序、基數排序、桶排序。

各種排序演算法的解析請參考如下：

 

《漫談經典排序演算法:一、從簡單選擇排序到堆排序的深度解析》

《漫談經典排序演算法:二、各種插入排序解析及效能比較》

《漫談經典排序演算法:三、冒泡排序 && 快速排序》

《漫談經典排序演算法:四、歸併排序》

《漫談經典排序演算法:五、線性時間排序(計數、基數、桶排序)》

《漫談經典排序演算法:六、各種排序演算法總結》

註：為了敘述方便，本文以及原始碼中均不考慮A[0],預設下標從1開始。

2、計數排序          2.1 引出

            前面四篇部落格中，所有的排序演算法都存在比較，都可以稱為”比較排序“。比較排序的下界為o（nlogn）。那麼有沒有時間複雜度為o（n）的線性時間排序演算法呢？計數排序便是很基礎的一種線性時間排序，它是基數排序的基礎。基本思想是：對每一個元素x，確定小於x的元素個數，就可以把x直接放到它在有序序列中的位置上。流程說明：假設待排序序列a中值的範圍[0,k],其中k表示待排序序列中的最大值。首先用一個輔助數組count記錄各個值在a中出現的次數，比如count[i]表示i在a中的個數。然後依次改變count中元素值，使count[i]表示a中不大於i的元素個數。然後從後往前掃描a數組，a中的元素根據count中的資訊直接放到輔助數組b中。最後把有序序列b複製到a。

          2.2 代碼

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>//計數排序,n為數組a的記錄個數，k為記錄中最大值void countingSort(int *a,int n,int k){int i;int *count=(int *)malloc(sizeof(int)*(k+1));int *b=(int *)malloc(sizeof(int)*(n+1));//初始化計數數組countfor(i=0;i<=k;i++)*(count+i)=0;//計算等於a[i]的記錄個數for(i=1;i<=n;i++)(*(count+a[i]))++;//計算小於等於a[i]的記錄個數for(i=1;i<=k;i++)        *(count+i) += *(count+i-1);//掃描a數組，把各個元素放在有序序列中相應的位置上for(i=n;i>=1;i--){*(b + *(count + a[i]))=a[i];        (*(count+a[i]))--; }for(i=1;i<=n;i++)a[i]=*(b+i);free(count);free(b);}void main(){int i;int a[7]={0,3,5,8,9,1,2};//不考慮a[0]countingSort(a,6,9);for(i=1;i<=6;i++)printf("%-4d",a[i]);printf("\n");}

          2.3 效率分析

從代碼來看，計數排序有5個for迴圈，其中三個時間是n，兩個時間是k。所以總時間T(3n+2k),時間複雜度o（n+k），不管是在最壞還是最佳情況下，此時間複雜度不變.此外，計數排序是穩定的，輔助空間n+k,這個空間是比較大的，計數排序對待排序序列有約束條件(如前面我們假設待排序序列a中值的範圍[0,k],其中k表示待排序序列中的最大值)，元素值需是非負數，k太大的話會大大降低效率。這裡要注意的是
“掃描a數組把各個元素放在有序序列相應的位置上” 這步為什麼要從後往前掃描a數組呢？大家想一想計數排序的過程就知道，因為從前掃描導致計數排序不穩定，前面說了，計數排序是基數排序的基礎，所以它的穩定性直接影響到基數排序的穩定。

3、基數排序          3.1 引出

            在計數排序中，當k很大時，時間和空間的開銷都會增大（可以想一下對序列{8888,1234,9999}用計數排序，此時不但浪費很多空間，而且時間方面還不如比較排序）。於是可以把待排序記錄分解成個位(第一位)、十位(第二位)....然後分別以第一位、第二位...對整個序列進行計數排序。這樣的話分解出來的每一位不超過9，即用計數排序序列中最大值是9.

          3.2 代碼

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>//計數排序,n為數組a的記錄個數，k為記錄中最大值，按第d位排序void countingSort(int *a,int n,int k,int d){int i;int *count=(int *)malloc(sizeof(int)*(k+1));int *b=(int *)malloc(sizeof(int)*(n+1));//初始化計數數組countfor(i=0;i<=k;i++)*(count+i)=0;//計算等於a[i]在d位(a[i]/(int)pow(10,d-1)%10)的記錄個數for(i=1;i<=n;i++)        (*(count+a[i]/(int)pow(10,d-1)%10))++;//計算小於等於a[i]在d位(a[i]/(int)pow(10,d-1)%10)的記錄個數for(i=1;i<=k;i++)        *(count+i) += *(count+i-1);//掃描a數組，把各個元素放在有序序列中相應的位置上for(i=n;i>=1;i--){*(b + *(count + a[i]/(int)pow(10,d-1)%10))=a[i];        (*(count+a[i]/(int)pow(10,d-1)%10))--; }for(i=1;i<=n;i++)a[i]=*(b+i);free(count);free(b);}//基數排序,n為數組a的記錄個數，每一個記錄中有d位元字void radixSort(int *a,int n,int d){int i;for(i=1;i<=d;i++){    countingSort(a,6,9,i);}}void main(){int i;int a[7]={0,114,118,152,114,111,132};//不考慮a[0]radixSort(a,6,3);for(i=1;i<=6;i++)printf("%-4d",a[i]);printf("\n");}

          3.3 效率分析

基數排序時間T(n)=d*(2k+3n),其中d是記錄值的位元，(2k+3n)是每一趟計數排序時間，上文分析過了，k不超過9，d的值一般也很小，k、d都可以看成是一個很小的常數，所以時間複雜度o（n）。最壞最佳情況並不改變時間複雜度。基數排序是穩定的。輔助空間同計數排序k+n.

4、桶排序          4.1 引出

            同計數排序一樣，桶排序也對待排序序列作了假設，桶排序假設序列由一個隨機過程產生，該過程將元素均勻而獨立地分布在區間[0,1)上。基本思想是：把區間[0,1)劃分成n個相同大小的子區間，稱為桶。將n個記錄分布到各個桶中去。如果有多於一個記錄分到同一個桶中，需要進行桶內排序。最後依次把各個桶中的記錄列出來記得到有序序列。

          4.2 代碼

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>//桶排序void bucketSort(double* a,int n){//鏈表結點描述typedef struct Node{double key;        struct Node * next; }Node;//輔助數組元素描述typedef struct{         Node * next;}Head;int i,j;    Head head[10]={NULL};Node * p;Node * q;Node * node;for(i=1;i<=n;i++){node=(Node*)malloc(sizeof(Node));node->key=a[i];node->next=NULL;p = q =head[(int)(a[i]*10)].next;if(p == NULL){head[(int)(a[i]*10)].next=node;continue;}while(p){            if(node->key < p->key)break;q=p;p=p->next;}if(p == NULL){q->next=node;}else{node->next=p;q->next=node;}}j=1;for(i=0;i<10;i++){    p=head[i].next;while(p){a[j++]=p->key;p=p->next;}}}void main(){int i;double a[13]={0,0.13,0.25,0.18,0.29,0.81,0.52,0.52,0.83,0.52,0.69,0.13,0.16};//不考慮a[0]bucketSort(a,12);for(i=1;i<=12;i++)printf("%-6.2f",a[i]);printf("\n");}

          4.3 效率分析

當記錄在桶中分布均勻時，即每個桶只有一個元素，此時時間複雜度o（n）。因此桶排序適合對很少重複的記錄排序。輔助空間2n。桶排序是穩定的排序，實現比較複雜。

5、附錄

      參考書籍:  《演算法導論》