Codeforces Round #181 (Div. 2) C. Beautiful Numbers(組合數模數+乘法逆元)

http://codeforces.com/contest/300/problem/C

題意：一個n位的數只包含a，b兩個數字並且每一位元字的和也只包含這兩個數字，求這樣的數有多少？

做法：枚舉a出現的次數為x，則b為n-x。如果sum = ax+b(n-x)合法，則這種情況的數目為C(n,x).

C(n,x) = n! / ( (n-x)!  *  x! ) (mod p) =  n! * inv( (n-x)!  *  x!)  {inv(a)為a的乘法逆元}。

 

求乘法逆元的方法（a存在mod p的乘法逆元若且唯若a與p互質）：

    => 

 

法一：擴充歐幾裡德定理

  =>    =>  

 

法二：歐拉定理(結合快速冪)

根據歐拉定理，如果a與m互質，則有   =>      (φ(m)為m的歐拉函數,即少於或等於m的數中與m互質的數的數目)

特殊的，當m為素數時，少於或等於m的數中與m互質的數的數目為m-1，即

法二

 1 /* 2  *Author:       Zhaofa Fang 3  *Created time: 2013-04-25-18.24 4  *Language:     C++ 5  */ 6 #include <cstdio> 7 #include <cstdlib> 8 #include <sstream> 9 #include <iostream>10 #include <cmath>11 #include <cstring>12 #include <algorithm>13 #include <string>14 #include <utility>15 #include <vector>16 #include <queue>17 #include <map>18 #include <set>19 using namespace std;20 21 typedef long long ll;22 #define DEBUG(x) cout<< #x << ':' << x << endl23 #define FOR(i,s,t) for(int i = (s);i <= (t);i++)24 #define FORD(i,s,t) for(int i = (s);i >= (t);i--)25 #define REP(i,n) for(int i=0;i<n;i++)26 #define REPD(i,n) for(int i=n-1;i>=0;i--)27 #define PII pair<int,int>28 #define PB push_back29 #define MP make_pair30 #define ft first31 #define sd second32 #define lowbit(x) (x&(-x))33 #define INF (1<<30)34 35 const ll mod = 1000000007;36 37 ll fac[1000111];38 39 40 void init(int n){41     fac[0] = 1;42     FOR(i,1,n){43         fac[i] = fac[i-1]*i%mod;44     }45 }46 ll pow_mod(ll a,ll m,ll n){47     ll tmp = 1;48     a%=n;49     while(m){50         if(m&1)tmp = tmp*a%n;51         a = a*a%n;52         m>>=1;53     }54     return tmp;55 }56 57 bool check(int a,int b,int sum){58     while(sum>0){59         int tmp = sum%10;60         if(tmp!=a&&tmp!=b)return false;61         sum/=10;62     }63     return true;64 }65 int main(){66     //freopen("in","r",stdin);67     //freopen("out","w",stdout);68     int a,b,n;69     scanf("%d%d%d",&a,&b,&n);70     ll ans = 0;71     init(n);72     REP(i,n+1){73         int x = i;74         int y = n - i;75         int sum = a*x + b*y;76         if(check(a,b,sum)){77             ll tmp = fac[n]*pow_mod(fac[y]*fac[x],mod-2,mod)%mod;78             ans = (ans + tmp)%mod;79         }80     }81     cout<<ans<<endl;82     return 0;83 }

 

附：維基的資料