電腦圖形學（二）輸出圖元_10_多邊形填充區_2_分割凹多邊形

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分割凹多邊形

       一旦識別出凹多邊形，我們可以將它切割成一組凸多邊形。這可使用邊向量和邊叉積來完成。我們可以利用頂點和邊延長線的關係來確定哪些頂點在其一側，哪些頂點在另一側。在下面的演算法中我們假定所有多邊形均在xy平面上。當然，在全局座標系中描述的多邊形的初始位置可能不在xy平面上，但我們可以使用第5章的討論的變換方法將它們移到xy平面上。對於分割凹多邊形的向量方法(vector method)，我們首先要形成邊向量。給定相繼的向量位置Vk和Vk+1定義邊向量:

 

       接著按多邊形邊界順序計算連續的邊向量的叉積。如果有些叉積的z分量為正而另一些為負，則多邊形為凹多邊形；否則，多邊形為凸多邊形。這意味著不存在三個連續的頂點共線，即不存在連續兩個邊向量其叉積為0。如果所有頂點共線，則得到一個退化多邊形(一條線段)。我們可以通過逆時針方向處理邊向量來應用向量方法。如果有一個叉積的z分量為負值(3.43所示)，那麼多邊形為凹且可沿叉積中第一邊向量的直線進行切割。下面的例子給出了分割凹多邊形的這一方法。

例3.4分割凹多邊形的向量方法

圖3.44給出了一個有6個頂點的凹多邊形。該多邊形的邊向量表示為

 

這裡的z分量均為0，因為所有邊均在xy平面上。兩個連續的邊向量的叉積Ejx Ek是垂直於xy平面的向量，其分量等EjxEky- EkxEjy:

 

        因為叉積E2 x E3的z分量為負，我們沿向量E2的直線分割多邊形。該邊的直線方程中的斜率為1而y軸截距為-1。然後我們可以確定這條直線和其他邊的交點來將多邊形分割成兩片。其他邊又積不為負，所以得到的兩個多邊形均為凸多邊形。

       我們還可以使用旋轉法(rotational method)來分割凹多邊形。沿多邊形的邊的逆時針方向，逐一將頂點Vk移到座標系原點。然後順時針旋轉多邊形，使下一頂點Vk+1落在x軸上。如果再下一個頂點Vk+2位於x軸下面，則多邊形為凹。然後我們利用x軸將多邊形分割成兩個新多邊形，並對這兩個新多邊形重複使用凹測試。上述步驟一直重複到多邊形中所有頂點均經過測試。對象位置旋轉和平移的方法將在第5章討論。圖3.45給出了分割凹多邊形的旋轉法。

 

將凸多邊形分割成三角形集

      一旦有了一個凸多邊形的頂點集，我們可以將其變成一組三角形。這通過將任意順序的三個連續頂點定義為一個新多邊形(三角形)來實現。然後將三角形的中間頂點從多邊形原頂點隊列中刪除。接著使用相同的過程處理修改後的頂點隊列來分出另一個三角形。這種分割一直進行到原多邊形僅留下三個頂點，它們定義三角形集中的最後一個。凹多邊形也可以使用這種方法分割為三角形集，但要求每次三頂點形成的內角小於180o(一個“凸”角)。

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