電腦程式的思維邏輯 (45) - 神奇的堆

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前面幾節介紹了Java中的基本容器類，每個容器類背後都有一種資料結構，ArrayList是動態數組，LinkedList是鏈表，HashMap/HashSet是雜湊表，TreeMap/TreeSet是紅/黑樹狀結構，本節介紹另一種資料結構 - 堆。

引入堆

之前我們提到過堆，那裡，堆指的是記憶體中的地區，儲存動態分配的對象，與棧相對應。這裡的堆是一種資料結構，與記憶體地區和分配無關。

堆是什麼結構呢？這個我們待會再細看。我們先來說明，堆有什麼用？為什麼要介紹它？

堆可以非常高效方便的解決很多問題，比如說：

• 優先順序隊列，我們之前介紹的隊列實作類別LinkedList是按添加順序排隊的，但現實中，經常需要按優先順序來，每次都應該處理當前隊列中優先順序最高的，高優先順序的，即使來得晚，也應該被優先處理。
• 求前K個最大的元素，元素個數不確定，資料量可能很大，甚至源源不斷到來，但需要知道到目前為止的最大的前K個元素。這個問題的變體有：求前K個最小的元素，求第K個最大的，求第K個最小的。
• 求中值元素，中值不是平均值，而是排序後中間那個元素的值，同樣，資料量可能很大，甚至源源不斷到來。

堆還可以實現排序，稱之為堆排序，不過有比它更好的排序演算法，所以，我們就不介紹其在排序中的應用了。

Java容器中有一個類PriorityQueue，就表示優先順序隊列，它實現了堆，下節我們會詳細介紹。關於後面兩個問題，它們是如何使用堆高效解決的，我們會在接下來的幾節中用代碼實現並詳細解釋。

說了這麼多好處，堆到底是什麼呢？

堆的概念

完全二叉樹

堆首先是一顆二叉樹，但它是完全二叉樹。什麼是完全二叉樹呢？我們先來看另一個相似的概念，滿二叉樹。

滿二叉樹是指，除了最後一層外，每個節點都有兩個孩子，而最後一層都是葉子節點，都沒有孩子。比如，兩個二叉樹都是滿二叉樹。

滿二叉樹一定是完全二叉樹，但完全二叉樹不要求最後一層是滿的，但如果不滿，則要求所有節點必須集中在最左邊，從左至右是連續的，中間不能有空的。比如說，下面幾個二叉樹都是完全二叉樹：

而下面的這幾個則都不是完全二叉樹：

編號與數組儲存

在完全二叉樹中，可以給每個節點一個編號，編號從1開始連續遞增，從上到下，從左至右，如所示：

完全二叉樹有一個重要的特點，給定任意一個節點，可以根據其編號直接快速計算出其父節點和孩子節點編號，如果編號為i，則父節點編號即為i/2，左孩子編號即為2*i,右孩子編號即為2*i+1。比如，對於5號節點，父節點為5/2即2，左孩子為2*5即10，右孩子為2*5+1即11。

這個特點為什麼重要呢？它使得邏輯概念上的二叉樹可以方便的儲存到數組中，數組中的元素索引就對應節點的編號，樹中的父子關係通過其索引關係隱含維持，不需要單獨保持。比如說，中的邏輯二叉樹，儲存到數組中，其結構為：

父子關係是隱含的，比如對於第5個元素13，其父節點就是第2個元素15，左孩子就是第10個元素7，右孩子就是第11個元素4。

這種儲存二叉樹的方法與之前介紹的TreeMap是不一樣的，在TreeMap中，有一個單獨的內部類Entry，Entry有三個引用，分別指向父節點、左孩子、右孩子。

使用數組儲存，優點是很明顯的，節省空間的，訪問效率高。

最大堆/最小堆

堆邏輯概念上是一顆完全二叉樹，而實體儲存體上使用數組，除了這兩點，堆還有一定的順序要求。

之前介紹過排序二叉樹，排序二叉樹是完全有序的，每個節點都有確定的前驅和後繼，而且不能有重複元素。

與排序二叉樹不同，在堆中，可以有重複元素，元素間不是完全有序的，但對於父子節點之間，有一定的順序要求，根據順序分為兩種堆，一種是最大堆，另一種是最小堆。

最大堆是指，每個節點都不大於其父節點。這樣，對每個父節點，一定不小於其所有孩子節點，而根節點就是所有節點中最大的，對每個子樹，子樹的根也是子樹所有節點中最大的。

最小堆與最大堆正好相反，每個節點都不小於其父節點。這樣，對每個父節點，一定不大於其所有孩子節點，而根節點就是所有節點中最小的，對每個子樹，子樹的根也是子樹所有節點中最小的。

我們看示：

堆概念總結

總結來說，邏輯概念上，堆是完全二叉樹，父子節點間有特定順序，分為最大堆和最小堆，最大堆根是最大的，最小堆根是最小的，堆使用數組進行實體儲存體。

這個資料結構為什麼就可以高效的解決之前我們說的問題呢？在回答之前，我們需要先看下，如何在堆上進行資料的基本操作，在操作過程中，如何保持堆的屬性不變。

堆的演算法

下面，我們來看下，如何在堆上進行資料的基本操作。最大堆和最小堆的演算法是類似的，我們以最小堆來說明。先來看如何添加元素。

添加元素

如果堆為空白，則直接添加一個根就行了。我們假定已經有一個堆了，要在其中添加元素。基本步驟為：

1. 添加元素到最後位置。
2. 與父節點比較，如果大於等於父節點，則滿足堆的性質，結束，否則與父節點進行交換，然後再與父節點比較和交換，直到父節點為空白或者大於等於父節點。

我們來看個例子。下面是初始結構：

添加元素3，第一步後，結構變為：

3小於父節點8，不滿足最小堆的性質，所以與父節點交換，會變為：

交換後，3還是小於父節點6，所以繼續交換，會變為：

交換後，3還是小於父節點，也是根節點4，繼續交換，變為：

這時，調整就結束了，樹保持了堆的性質。

從以上過程可以看出，添加一個元素，需要比較和交換的次數最多為樹的高度，即log2(N)，N為節點數。

這種自低向上比較、交換，使得樹重新滿足堆的性質的過程，我們稱之為siftup。

從頭部刪除元素

在隊列中，一般是從頭部刪除元素，Java中用堆實現優先順序隊列，我們來看下如何在堆中刪除頭部，其基本步驟為：

1. 用最後一個元素替換頭部元素，並刪掉最後一個元素。
2. 將新的頭部與兩個孩子節點中較小的比較，如果不大於該孩子節點，則滿足堆的性質，結束，否則與較小的孩子進行交換，交換後，再與較小的孩子比較和交換，一直到沒有孩子，或者不大於兩個孩子節點。這個過程我們般稱為siftdown。

我們來看個例子。下面是初始結構：

執行第一步，用最後元素替換頭部，會變為：

現在根節點16小於孩子節點，與更小的孩子節點6進行替換，結構會變為：

16還是小於孩子節點，與更小的孩子8進行交換，結構會變為：

此時，就滿足堆的性質了。

從中間刪除元素

那如果需要從中間刪除某個節點呢？與從頭部刪除一樣，都是先用最後一個元素替換待刪元素。不過替換後，有兩種情況，如果該元素大於某孩子節點，則需向下調整(siftdown)，否則，如果小於父節點，則需向上調整(siftup)。

我們來看個例子，刪除值為21的節點，第一步如所示：

替換後，6沒有子節點，小於父節點12，執行向上調整siftup過程，最後結果為：

我們再來看個例子，刪除值為9的節點，第一步如所示：

交換後，11小於右孩子10，所以執行siftdown過程，執行結束後為：

構建初始堆

給定一個無序數組，如何使之成為一個最小堆呢？將普通無序數組變為堆的過程我們稱之為heapify。

基本思路是，從最後一個非葉子節點開始，一直往前直到根，對每個節點，執行向下調整siftdown。換句話說，是自底向上，先使每個最小子樹為堆，然後每對左右子樹和其父節點合并，調整為更大的堆，因為每個子樹已經為堆，所以調整就是對父節點執行siftdown，就這樣一直合并調整直到根。這個演算法的虛擬碼是：

void heapify() {    for (int i=size/2; i >= 1; i--)        siftdown(i);}

size表示節點個數, 節點編號從1開始，size/2表示第一個非分葉節點的編號。

這個構建的時間效率為O(N)，N為節點個數，具體就不證明了。

尋找和遍曆

在堆中進行尋找沒有特殊的演算法，就是從數組的頭找到尾，效率為O(N)。

在堆中進行遍曆也是類似的，堆就是數組，堆的遍曆就是數組的遍曆，第一個元素是最大值或最小值，但後面的元素沒有特定的順序。

需要說明的是，如果是逐個從頭部刪除元素，堆可以確保輸出是有序的。

演算法小結

以上就是堆操作的主要演算法：

• 在添加和刪除元素時，有兩個關鍵的過程以保持堆的性質，一個是向上調整(siftup)，另一個是向下調整(siftdown)，它們的效率都為O(log2(N))。由無序數組構建堆的過程heapify是一個自底向上迴圈的過程，效率為O(N)。
• 尋找和遍曆就是對數組的尋找和遍曆，效率為O(N)。

小結

本節介紹了堆這一資料結構的基本概念和演算法。

堆是一種比較神奇的資料結構，概念上是樹，儲存為數組，父子有特殊順序，根是最大值/最小值，構建/添加/刪除效率都很高，可以高效解決很多問題。

但在Java中，堆到底是如何?的呢？本文開頭提到的那些問題，用堆到底如何解決呢？讓我們在接下來的幾節中繼續探索。

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