進位之間的轉換

進位也就是進位制，我們常用到的就是二進位、八進位、十進位、十六進位。

二進位：由0,1兩個自然數組成，運算規律就是逢二進一。

八進位：由0~7八個自然數組成，運算規律就是逢八進一。

十進位：由0~9十個自然數組成，運算規律就是逢十進一。

十六進位：有0~9個自然數和A~F六個大寫字母組成。其中6個大寫字母分別表示10、11、12、13、14、15。運算規律就是逢十六進一。

為了更好的區分各類進位，通常在編寫的時候用該進位來做結尾。

例如十進位數2012，那麼十六進位中可以寫成(7DC)16，八進位可以寫成(3734)8，二進位可以寫成(011111011100)2。

十進位轉為二進位

十進位轉二進位分為整數部分和小數部分

整數部分可以用除以2擷取餘數的方法。得到的餘數就是該位權上的數，得到的商又除以2，如此迴圈，直至商為0，最後從最後的餘數向前讀數。

例如十進位數2012

換算過程

2012 / 2 = 1006 餘 0

1006 / 2 = 503 餘 0

503 / 2 = 251 餘 1

251 / 2 = 125 餘 1

125 / 2 = 62 餘 1

64 / 2 = 31 餘 0 

31 / 2 = 15 餘 ·1

15 / 2 = 7 餘 1

7 / 2 = 3 餘 1

3 / 2 = 1 餘 1

1 / 2 = 0 餘 1

商為0，計算完畢，最後從最後的餘數向前讀數，即11111011100

小數部分可以用小數部分乘以2，然後取整數，剩下的小數繼續乘以2，如此迴圈直至小數部分為0，如果小數部分都不為0，那麼就要根據要求，如果後面一位是0，那麼則取捨，如果是1，那麼則進位1，最後從前面得到的整數往後讀。

例如十進位0.86

換算過程

0.86 * 2 = 1.72 則整數為 1 小數為0.72

0.72 * 2 = 1.44 則整數為1 小數為0.44

0.44 * 2 = 0.88 則整數為0 小數為0.88

0.88 * 2 = 1.76 則整數為1 小數為0.76

0.76 * 2 = 1.52 則整數為1 小數為0.52

0.52 * 2 = 1.04 則整數是1 小數是0.04

0.04 * 2 = 0.08 則整數是0 小數是0.08

0.08 * 2 = 0.16 則整數是0 小數是0.16

0.16 * 2 = 0.32 則整數是0 小數是0.32

0.32 * 2 = 0.64 則整數是0 小數是0.64

…………

依次下去

最後結果為0.1101110000……

同理，十進位轉八進位、十六進位也是如此，只不過是除以8、16。

二進位轉八進位

三位二進位表示一位八進位。如2^3 = 8

二進位轉八進位可以以二進位的小數點為分界點，整數部分向左取以三位為一個單元，小數部分向右取以三位為一個單元，然後計算分別得到的三位，計算得到的結果就是一位八進位，小數點的位置不變。如果無法籌足三位，那麼整數部分則可以在最高位權（即整數的最左邊）添加0補足，小數點部分則在最右邊部分添0補足。

例如二進位 (11101001.100011)2

三位取一 整數部分 011 101 001  小數部分 100 011

0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 = 3  1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = 5  0*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = 1

所以整數部分為351

1*2^2 + 0*2^1 + 0*2^0 = 4  0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 = 3 

所以小數部分是43

最後八進位的結果是(351.43)8

二進位轉十進位

對於N進位來說，整數部分的第 i 位的位權為N^(i - 1)，而小數部分第 j 位的位權則為N^(-j)，其中 i 以1開始

可以按權展開求和

例如二進位(1011.01)2

橫向展開：1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 + 0*2^-1 + 1*2^-2 = 11.25

二進位轉十六進位

四位二進位表示一位十六進位，如2^4=16

方法和二進位轉八進位類似，區別的是十六進位是以四位為一個單元。

例二進位(11101001.100011)2

四位取一 整數部分 1110 1001  小數部分 1000 1100

最後得到的十六進位的結果是(E9.8C)16

八進位轉二進位

因為八進位是由0~7的數字組成，且一位八進位為三位二進位，所以可以把一位八進位拆成三位二進位

而二進位上位權對應的權值又是這樣

2^7	2^6	2^5	2^4	2^3	2^2	2^1	2^0
128	64	32	16	8	4	2	1

八進位二進位

0--------000

1--------001

2--------010

3--------011

4--------100

5--------101

6--------110

7--------111
例八進位25，得到的二進位為(10101)2

八進位434，得到的二進位為(100011100)2

八進位轉十進位

可以按權展開求和

例如八進位(1011.01)8

橫向展開：1*8^3 + 0*8^2 + 1*8^1 + 1*8^0 + 0*8^-1 + 1*8^-2 = 521.215625

八進位轉十六進位

一般不直接轉換，可以先轉換為二進位。然後在轉換為需要的進位

十六進位轉二進位

因為十六進位是由0~9的數字和A~F組成，且一位十六進位為四位位二進位，所以可以把一位十六進位拆成四位二進位

十六進位二進位

0--------0000

1--------0001

2--------0010

3--------0011

4--------0100

5--------0101

6--------0110

7--------0111

8--------1000

9--------1001

A--------1010

B--------1011

C--------1100

D--------1101

E--------1110

F--------1111

例如9EF，則對應的二進位則為100111101111

十六進位轉十進位

按權展開求和，類似八進位轉十進位

ok，若有不對的地方，請各位指出改正，謝謝！