座標軸的平移與旋轉

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• 1.平面上的座標系

 

1.平面上的座標系

地理座標是一種球面座標。由於地球表面是不可展開的曲面，也就是說曲面上的各點不能直接表示在平面上，因此必須運用地圖投影的方法，建立地球表面和平面上點的函數關係，使地球表面上任一點由地理座標（φ、λ）確定的點，在平面上必有一個與它相對應的點，平面上任一點的位置可以用極座標或直角座標表示。

1.1.平面直角座標系的建立

在平面上選一點O為直角座標原點，過該點O作相互垂直的兩軸X’OX和Y’OY而建立平面直角座標系，5所示。

直角座標系中，規定OX、OY方向為正值，OX、OY方向為負值，因此在座標系中的一個已知點P，它的位置便可由該點對OX與OY軸的垂線長度唯一地確定，即x=AP，y=BP，通常記為P(x，y)。

1.2.平面極座標系（Polar Coordinate）的建立

圖4-5：平面直角座標系和極座標系

5所示，設O’為極座標原點，O’O為極軸，P是座標系中的一個點，則O’P稱為極距，用符號ρ表示，即ρ=O’P。∠OO’P為極角，用符號δ表示，則∠OO’P=δ。極角δ由極軸起算，按逆時針方向為正，順時針方向為負。

極座標與平面直角座標之間可建立一定的關係式。由圖5可知，直角座標的x軸與極軸重合，二座標系原點間距離OO’用Q表示，則有：

X=Q–ρcosδ

Y=ρsinδ

2.直角座標系的平移和旋轉2.1座標系平移

如圖1所示，座標系XOY與座標系X’O’Y’相應的座標軸彼此平行，並且具有相同的正向。座標系X’O’Y’是由座標系XOY平行移動而得到的。設P點在座標系XOY中的座標為(x，y)，在X’O’Y’中座標為(x’，y’)，而(a，b)是O’在座標系XOY中的座標，於是：

x=x’+a

y=y’+b

上式即一點在座標系平移前後之座標關係式。

圖1：座標平移

2.2座標系旋轉

如圖2所示，如座標系XOY與座標系X’O’Y’的原點重合，且對應的兩座標軸夾角為θ，座標系X’O’Y’是由座標系XOY以O為中心逆時針旋轉θ角後得到的。

x=x’cosθ+y’sinθ

y=y’cosθ-x’sinθ

上式即為經過旋轉θ角後的二直角座標系中某一點座標的關係式。

圖2：座標旋轉

2.3座標系平移和旋轉

如圖3所示，座標系X’O’Y’的原點在座標系XOY中的座標為a、b，X軸與X’軸之夾角為θ。可以認為座標系X’O’Y’原是與座標系XOY重合，後因為O’分別平移了a、b之距離，並且座標系二座標軸O’X’與O’Y’又相對OX與OY逆時針旋轉了θ角而得到的。

在二座標系之間引入一個輔助座標系X”O’Y”，使它的二座標軸O’X”與O’Y”分別與OX、OY平行。

在X”O’Y”系中有一點P，其座標為(x”，y”)，則由座標系平移公式與座標系旋轉公式可得：

x=x”+a

y=y”+b

故有

x”=x’cosθ+y’sinθ

y”=y’cosθ-x’sinθ

即

x=x’cosθ+y’sinθ+a

y”=y’cosθ-x’sinθ+b

上式即座標系平移和旋轉後新、舊座標系中某一點座標之關係式。

圖3：座標平移和旋轉地圖投影的基本問題

3.地圖投影的概念

在數學中，投影（Project）的含義是指建立兩個點集間一一對應的映射關係。同樣，在地圖學中，地圖投影就是指建立地球表面上的點與檢視平面上點之間的一一對應關係。地圖投影的基本問題就是利用一定的數學法則把地球表面上的經緯線網表示到平面上。凡是地理資訊系統就必然要考慮到地圖投影，地圖投影的使用保證了空間資訊在地區上的聯絡和完整性，在各類地理資訊系統的建立過程中，選擇適當的地圖投影系統是首先要考慮的問題。由於地球橢球體表面是曲面，而地圖通常是要繪製在平面圖紙上，因此製圖時首先要把曲面展為平面，然而球面是個不可展的曲面，即把它直接展為平面時，不可能不發生破裂或褶皺。若用這種具有破裂或褶皺的平面繪製地圖，顯然是不實際的，所以必須採用特殊的方法將曲面展開，使其成為沒有破裂或褶皺的平面。

 

出處：http://learn.gxtc.edu.cn/NCourse/GIS/gis_html/GIS2/ch3/4.htm

 

最近在研究座標軸的旋轉與平移，網上有兩種公式，原來是順時針與逆時針兩種，但網上沒有說清楚。最後找到了這篇文章，說明比較全面與清晰，轉載備用。