Cyclic Redundancy Check循環冗餘檢查

Cyclic Redundancy Check循環冗餘檢查，是基於資料計算一組效驗碼，用於核對資料轉送過程中是否被更改或傳輸錯誤。

演算法原理

假設資料轉送過程中需要發送15位的二進位資訊g=101001110100001，這串二進位碼可表示為代數多項式g(x) = x^14 + x^12 + x^9 + x^8 + x^7 + x^5 + 1，其中g中第k位的值，對應g(x)中x^k的係數。將g(x)乘以x^m，既將g後加m個0，然後除以m階多項式h(x)，得到的(m-1)階餘項r(x)對應的二進位碼r就是CRC編碼。

h(x)可以自由選擇或者使用國際通行標準，一般按照h(x)的階數m，將CRC演算法稱為CRC-m，比如CRC-32、CRC-64等。國際通行標準可以參看http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_redundancy_check

g(x)和h(x)的除運算，可以通過g和h做xor（異或）運算。比如將11001與10101做xor運算：

      

明白了xor運演算法則後，舉一個例子使用CRC-8演算法求101001110100001的效驗碼。CRC-8標準的h(x) = x^8 + x^7 + x^6 + x^4 + x^2 + 1，既h是9位的二進位串111010101。 

      

經過迭代運算後，最終得到的r是10001100，這就是CRC效驗碼。

通過樣本，可以發現一些規律，依據這些規律調整演算法： 

1. 每次迭代，根據gk的首位決定b，b是與gk進行運算的二進位碼。若gk的首位是1，則b=h；若gk的首位是0，則b=0，或者跳過此次迭代，上面的例子中就是碰到0後直接跳到後面的非零位。

               

2. 每次迭代，gk的首位將會被移出，所以只需考慮第2位後計算即可。這樣就可以捨棄h的首位，將b取h的後m位。比如CRC-8的h是111010101，b只需是11010101。 

      

3. 每次迭代，受到影響的是gk的前m位，所以構建一個m位的寄存器S，此寄存器儲存gk的前m位。每次迭代計算前先將S的首位拋棄，將寄存器左移一位，同時將g的後一位加入寄存器。若使用此種方法，計算步驟如下： 

      

※藍色表示寄存器S的首位，是需要移出的，b根據S的首位選擇0或者h。黃色是需要移入寄存器的位。S'是經過位移後的S。

 

查表法

同樣是上面的那個例子，將資料按每4位組成1個block，這樣g就被分成6個block。

      

下面的表展示了4次迭代計算步驟，灰色背景的位是儲存在寄存器中的。 

      

經4次迭代，B1被移出寄存器。被移出的部分，不我們關心的，我們關心的是這4次迭代對B2和B3產生了什麼影響。注意表中紅色的部分，先作如下定義：

   B23 = 00111010
   b1 = 00000000
   b2 = 01010100
   b3 = 10101010
   b4 = 11010101
   b' = b1 xor b2 xor b3 xor b4

4次迭代對B2和B3來說,實際上就是讓它們與b1,b2,b3,b4做了xor計算，既：

   B23 xor b1 xor b2 xor b3 xor b4

可以證明xor運算滿足交換律和結合律，於是：

   B23 xor b1 xor b2 xor b3 xor b4 = B23 xor (b1 xor b2 xor b3 xor b4) = B23 xor b'

b1是由B1的第1位決定的，b2是由B1迭代1次後的第2位決定（既是由B1的第1和第2位決定），同理,b3和b4都是由B1決定。通過B1就可以計算出b'。另外，B1由4位組成，其一共2^4有種可能值。於是我們就可以想到一種更快捷的演算法，事先將b'所有可能的值，16個值可以看成一個表；這樣就可以不必進行那4次迭代，而是用B1查表得到b'值，將B1移出，B3移入，與b'計算，然後是下一次迭代。

      

可看到每次迭代，寄存器中的資料以4位為單位移入和移出，關鍵是通過寄存器前4位查表獲得
，這樣的演算法可以大大提高運算速度。

上面的方法是半位元組查表法，另外還有單位元組和雙位元組查表法，原理都是一樣的——事先計算出2^8或2^16個b'的可能值，迭代中使用寄存器前8位或16位查表獲得b'。

反向演算法

之前討論的演算法可以稱為正向CRC演算法，意思是將g左邊的位看作是高位，右邊的位看作低位。G的右邊加m個0，然後迭代計算是從高位開始，逐步將低位加入到寄存器中。在實際的資料傳送過程中，是一邊接收資料，一邊計算CRC碼，正向演算法將新接收的資料看作低位。

逆向演算法顧名思義就是將左邊的資料看作低位，右邊的資料看作高位。這樣的話需要在g的左邊加m個0，h也要逆向，例如正向CRC-16演算法h=0x4c11db8，逆向CRC-16演算法h=0xedb88320。b的選擇0還是h，由寄存器中右邊第1位決定，而不是左邊第1位。寄存器仍舊是向左位移，就是說迭代變成從低位到高位。