資料結構 《18》----RMQ 與 LCA 的等價性 (一)

前言

    RMQ： 數組 a0, a1, a2,..., an-1, 中求任意區間 a[i+1], a[i+2], ..., a[i+k] 的最小值

    LCA： 求二叉樹中兩個節點的最低公用祖先

    本文將證明這兩個問題可以相互歸約為另一個問題。

證明

   先通過一個簡單的例子來說明問題。見：

   求 [7 2 8 6] 的最小值 2，等價於求二叉樹中節點 7 和 節點6的 LCA，也就是 節點2。

   有意思吧。。。

一、 RMQ -> LCA

   給定一個數組，如何求出其對於的二叉樹呢？？

     方法1： 這棵二叉樹其實具有類似最小堆的性質（雖然不是完全二叉樹），

                  可以採用遞迴建樹，先找到最小值作為 root 節點，然後對最小值左半邊和右半邊遞迴建左子樹和右子樹即可。

    複雜度： 最好 O(NlgN)，最壞 O(N^2), 分析類似與快排。。

     方法2：因此掃描數組的每一個元素，將元素按如下規則插入樹中；

                 從根節點出發，一直往右孩子移動，直到當前插入元素值位於一個 父親節點和右孩子節點之間。

                 將插入節點作為 父親節點的右孩子，之前的右子樹作為插入節點的左子樹。

       

二、LCA -> RMQ

如何將一個 LCA 歸約到一個數組求區間最小值呢？？ 這個問題有一個 trick.

加入我們的二叉樹如，注意，它並不滿足最小堆的性質！！！

   1. 做一個變換，將節點的值改成節點的深度，這樣，新的二叉樹就滿足了最小堆的性質；

       這兩顆樹的節點是一一對應的，

       求 LCA(node3, node8) 對應於 在新樹中求 LCA(node3, node1)

    2. 新樹中求 LCA(node3, node1) 對應於在新樹的中序遍曆序列 2 1 3 2 0 1 中求 【3 2 0 1】的最小值；