資料結構，資料結構與演算法

資料結構，資料結構與演算法
應用背景

學生選修課程問題
頂點——表示課程
有向弧——表示先決條件，若課程i是課程j的先決條件，則圖中有弧（i,j）
學生應按怎樣的順序學習這些課程，才能無矛盾、順利地完成學業——拓撲排序

     拓撲序列是有向非循環圖中各頂點構成的有序序列。該序列滿足如下條件：如果圖中一頂點vi到另一頂點vj存在一條路徑，那麼vj在此圖的拓撲排序序列中位於vi之後。

有向非循環圖(DAG)和 AOV網

有向非循環圖”（Directed Acyclic Graph，簡稱DAG
AOV網 (Activity On Vertex network): 一個“可行的” AOV 網路必須是DAG。否則圖中有迴路，從而就不能確定迴路中的活動究竟哪個先實施。
頂點表示活動，
弧表示活動間的優先關係，
注意：
AOV網中的弧表示活動之間存在某種制約關係：若

void ToplogicalSort ( Graph G, int TopNum[ ] ){    int Counter;    /* 拓撲序號，用以標識每個頂點輸出的次序*/    int v, w;    int *InDegree = (int *)malloc( G.n * sizeof(int) );    GetInDegree(G, InDegree);   /* 計算圖G中各頂點的入度 */    for( Counter = 0; Counter < G.n; Counter++ ) {        v = FindNewVertexOfDegreeZero( );           /* 尋找入度為0的頂點，若找到，則返回頂點在頂點數組的下標。若找不到入度為0的頂點，返回-1 */        if ( v == -1 ) {             printf( “圖存在環路”);             break;        }        TopNum[v] = Counter;        for( G中關於v 的每個鄰接點w )           Indegree[w]--;  /* 與頂點v相連的各頂點的入度減1 */    }}

void ToplogicalSort ( GraphAdjList GL, int * TopNum ){        Queue queue;    EdgeNode *p;     int Counter = 0;    int v, w;     //int *InDegree = (int *)malloc( G.n * sizeof(int) );   //  GetInDegree(G, InDegree);   /* 計算圖G中各頂點的入度 */     queue = InitQueue( GL->numVertexes ); /* 建立空隊列 */     for( v = 0; v <GL->numVertexes; v++ )          if( GL->adjList[v].in==0 )        EnQueue( &queue, v );     while( ! QueueEmpty(queue) ) {           v = DeQueue( &queue);           TopNum[v] = ++Counter;      /* 賦頂點拓撲排序序號 */           for( p=GL->adjList[v].firstedge;p!=NULL;p=p->next)              if( --GL->adjList[p->adjvex].in == 0 )                  EnQueue( &queue, p->adjvex );      }      if( Counter != GL->numVertexes )                printf( "圖存在環路\n" );      DisposeQueue(&queue);    /* 釋放隊列空間*/      //free(InDegree);}

關鍵路徑

    與AOV網相對應的是AOE(Activity On Edge) ，是邊表示活動的有向非循環圖。    頂點表示事件(Event)，每個事件表示在它之前的活動已完成，在它之後的活動可以開始；    弧表示活動，弧上的權值表示相應活動所需的時間或費用

AOV網與AOE網

拓撲排序主要是為解決一個工程能否順利進行的問題。
關鍵路徑是解決工程完成需要的最短時間問題。
AOV網與AOE網的區別：
AOV網，頂點表示活動，邊描述活動之間的制約關係
AOE網，邊上的權值表示活動持續的時間，
建立在活動之間制約關係沒有矛盾的基礎上，
討論完成整個工程至少需要多少時間；或者為縮短完成工程所需時間，應當加快哪些活動等問題。

路徑長度—路徑上各活動期間之和
關鍵路徑—從源點到匯點具有最大路徑長度的路徑
關鍵活動—關鍵路徑上的活動。關鍵活動是影響整個工程的關鍵，延遲就會影響整個工期的活動。
最早發生時間—設v0是起點，從v0到vi的最長路徑長度稱為事件vi的最早發生時間，即是以vi為尾的所有活動的最早發生時間。

求AOE中關鍵路徑和關鍵活動

⑴ 演算法思想
① 利用拓撲排序求出AOE網的一個拓撲序列；
② 從拓撲排序的序列的第一個頂點(源點)開始，按拓撲順序依次計算每個事件的最早發生時間ve(i) ；
從拓撲排序的序列的最後一個頂點(匯點)開始，按逆拓撲順序依次計算每個事件的最晚發生時間vl(i) ；
求出各活動的最早發生時間e(i)和最晚發生時間l(e),同時求出ai的時間餘量，時間餘量=0的那些活動就是關鍵活動。

最短路徑

用帶權的有向圖表示一個交通運輸網，圖中：
頂點：城市
邊：城市間的交通聯絡
權：此線路的長度或沿此線路運輸所花的時間或費用等
問題：
兩地之間是否有通路?
在有多條通路的情況下，哪條最短?
將一條路徑的起始頂點稱為源點，最後一個頂點稱為終點。

單源點最短路徑

對於給定的有向圖G=(V，E)及單個源點V0，求V0到G的其餘各頂點的最短路徑。針對單源點的最短路徑問題，Dijkstra提出了一種按路徑長度遞增次序產生最短路徑的演算法，即迪傑斯特拉(Dijkstra)演算法。

求最短路徑步驟

初使時令 S={V0},T={其餘頂點}，T中頂點對應的距離值
若存在 V0,Vi，為V0,Vi弧上的權值
若不存在 V0, Vi，為
從T中選取一個其距離值為最小的頂點W，加入S
對T中頂點的距離值進行修改：若加進W作中間頂點，從V0到Vi的距離值比不加W的路徑要短，則修改此距離值
重複上述步驟，直到S中包含所有頂點，即S=V為止

演算法實現
圖用帶權鄰接矩陣儲存
數組dist[ ]存放當前找到的從源點V0到每個終點的最短路徑長度（這些路徑中間只經過集合S中的頂點），其初態為圖中直接路徑權值
數組pre[ ]表示從V0到各終點的最短路徑上，此頂點的前一頂點的序號；若從V0到某終點無路徑，則用0作為其前一頂點的序號