資料結構，資料結構與演算法

資料結構，資料結構與演算法
數組的定義數組的順序表示和實現

由於電腦的記憶體結構是一維的，因此用一維記憶體來表示多維陣列，就必須按某種次序將數組元素排成一列序列，然後將這個線性序列存放在儲存空間中。
一般都是採用順序儲存的方法來表示數組

矩陣的壓縮儲存

矩陣的儲存——二維數組
考慮：若矩陣階數很高，且有許多值相同的元素或零元素，怎麼提高儲存效率？
特殊矩陣——值相同的元素或者零元素在矩陣中的分布有一定規律
疏鬆陣列——矩陣中有大量零元素，非零元素比較少。
壓縮儲存：為多個相同的非零元素只分配一個儲存空間；對零元素不分配空間。

對稱矩陣的壓縮儲存

若i≧j，則aij 在下三角矩陣中。 aij 之前的i-1行（從第1行到第i-1行）一共有1+2+…+i-1=i(i-1)/2個元素，在第i行上， aij 之前恰有j-1個元素（即ai0,ai1,ai2,…,aij-1），因此有：               k=i*(i-1)/2+j-1                 當 i≧j 若i<j，則aij 是在上三角矩陣中。因為aij=aji，所以只要交換上述對應關係式中的i和j即可得到：              k=j*(j-1)/2+i-1                  當 i<j    根據上述的下標對應關係，對於矩陣中的任意元素aij，均可在一維數組sa中唯一確定其位置k；反之，對所有k=0,1, …, n(n+1)/2-1，都能確定sa[k]中的元素在矩陣中的位置(i,j)。

三角矩陣的壓縮儲存

三角矩陣中的重複元素c可共用一個儲存空間，其餘的元素正好有n(n+1)/2個，因此，三角矩陣可壓縮儲存到一維數組sa[n(n+1)/2+1]中，其中c存放在數組的第1個位置（亦可放在最後一個位置）。
上三角矩陣元素aij儲存在數組sa中時，下標值k與（i,j）之間的對應關係是？
下三角矩陣元素aij儲存在數組sa中時，下標值k與（i,j）之間的對應關係是？

疏鬆陣列的儲存

解決方案：在儲存非零元素的同時，同時記下它所在的行和列的位置（i, j)。
由於三元組(i, j, aij)唯一確定了矩陣A的一個非零元。因此，疏鬆陣列可由表示非零元的三元組及其行列數唯一確定。
例如，下列三元組表
( (1,2,12), (1,3,9), (3,1,-3), (3,8,4), (4,3,24), (4,6,2), (5,2,18), (6,7,-7), (7,4,-6) ) 和行列資訊(7,8,9)便可描述5.6所示的疏鬆陣列
註：行列資訊(7,8,9)中，7：行；8：列；9：非零元個數

三元組順序表

以順序儲存結構來表示三元組表，則得到疏鬆陣列的一種壓縮儲存方法——三元順序表。

⑴ 三元組結點定義      #define MAX_SIZE 1000  typedef int elemtype ;  typedef struct{    int   row ;     /*  行下標  */      int   col ;        /*  列下標  */elemtype value;      /*  元素值  */}Triple ;

⑵  三元組順序表定義    typedef struct {   int  rn ;         /*   行數   */int  cn;         /*   列數   */int  tn ;         /*    非0元素個數   */Triple   data[MAX_SIZE] ; }TMatrix ; TMatrix  a；//定義了一個用三元組順序表表示的疏鬆陣列

矩陣的轉置

設疏鬆陣列A是按行優先順序壓縮儲存在三元組表a.data中，若僅僅是簡單地交換a.data中i和j的內容，得到三元組表b.data，b.data將是一個按列優先順序儲存的疏鬆陣列B，要得到按行優先順序儲存的b.data，就必須重新排列三元組表b.data中元素的順序。
由於A的列是B的行，因此，按a.data的列序轉置，所得到的轉置矩陣B的三元組表b.data必定是按行優先存放的。

轉置矩陣的演算法

按方法一求轉置矩陣的演算法如下：void TransMatrix(TMatrix a , TMatrix * b){   int i , j , col ;b->rn=a.cn ; b->cn=a.rn ; b->tn=a.tn ;/*    置三元組表b->data的行、列數和非0元素個數 */if  (b->tn==0)    printf(“ The Matrix A=0\n” );else{   j=0; //b中三元組 數組下標for  (col=1; col<=a.cn ; col++)/*   每次迴圈掃描 a的第col 列非零元，得到b的第col行非零元  */      for  (i=0 ;i<a.tn ; i++)  /*   迴圈次數是非0元素個數   */                                 if  (a.data[i].col==col)                                   {    b-> data[j].row=a.data[i].col ;                                         b-> data[j].col=a.data[i].row ;                                          b-> data[j].value=a.data[i].value;                                          j++ ;                                     }                    }  }

快速轉置演算法

快速轉置演算法如下   void  FastTransMatrix(TMatrix a, TMatrix b){    int p , q , col , k ;int num[N] , copt[N] ;  //N為矩陣列數b.rn=a.cn ; b.cn=a.rn ; b.tn=a.tn ; /*   置三元組表b.data的行、列數和非0元素個數  */ if  (b.tn==0)    printf(“ The Matrix A=0\n” ) ;else{  for (col=1 ; col<=a.cn ; ++col)    num[col]=0 ;   /*  向量num[ ]初始化為0   */               for (k=0 ; k<a.tn ; ++k)       ++num[ a.data[k].col] ;           /*   求原矩陣中每一列非0元素個數  */for (cpot[1]=0, col=2 ; col<=a.cn ; ++col)       cpot [col]=cpot[col-1]+num[col-1] ;      /*  求第col列中第一個非0元在b.data中的序號 */for (p=0 ; p<a.tn ; ++p)    {   col = a.data[p].col ;          q=cpot[col] ; //矩陣b的第col行的元素所在位置          b.data[q].row=a.data[p].col ;          b.data[q].col=a.data[p].row ;           b.data[q].value=a.data[p].value ;            ++cpot[col] ;      /*至關重要!!當本列中增加新元素時，位置即變為下一個非零元素的位置  */     }}}

十字鏈表（鏈式儲存）

    對於疏鬆陣列，當非0元素的個數和位置在操作過程中變化較大時，採用鏈式儲存結構表示比三元組的線性表更方便。   矩陣中非0元素的結點所含的域有：行、列、值、行指標(指向同一行的下一個非0元)、列指標(指向同一列的下一個非0元)。其次，十字交叉鏈表還有一個頭結點

疏鬆陣列中同一行的非0元素的由right指標域 連結成一個行鏈表， 由down指標域連結成一個列鏈表。
每個非0元素既是某個行鏈表中的一個結點，同時又是某個列鏈表中的一個結點，所有的非0元素構成一個十字交叉的鏈表，稱為十字鏈表。

此外，用兩個一維數組rhead和chead分別儲存行鏈表的頭指標和列鏈表的頭指標。

結點的描述如下：typedef struct  OLnode  {   int  row , col ;   /*  行號和列號  */     elemtype value ;    /*  元素值  */struct  OLnode  *down , *right ;} OLNode, *OLink ;   /*  非0元素結點  */typedef struct{   int   rn;        /*  矩陣的行數  */     int   cn;        /*  矩陣的列數  */int   tn;        /*  非0元素總數  */OLink  * rhead ;      //行鏈表頭指標向量基址OLink  * chead ;    //列鏈表頭指標向量基址} CrossList 

廣義表

廣義表是線性表的推廣和擴充，在人工智慧領域中應用十分廣泛。
第2章中的線性表定義為n(n≧0 )個元素a1, a2 ,…, an的有窮序列，該序列中的所有元素具有相同的資料類型且只能是原子項(Atom)。所謂原子項可以是一個數或一個結構，在結構上不可再分。若放鬆對元素的這種限制，容許它們具有其自身結構，就產生了廣義表的概念。
廣義表(Lists，又稱為列表 )：是由n(n ≧0)個元素組成的有窮序列： LS=(a1，a2，…，an) ，其中ai或者是原子項，或者是一個廣義表。LS是廣義表的名字，n為它的長度。若ai是廣義表，則稱為LS的子表。
習慣上：原子項用小寫字母，子表用大寫字母。
若廣義表LS非空時：
◆ a1(表中第一個元素)稱為表頭；
◆ 其餘元素組成的子表稱為表尾；(a2，a3，…，an)
◆ 廣義表中所包含的元素(包括原子和子表)的個數稱為表的長 度。
◆ 廣義表中括弧的最大層數稱為表深 (度)

廣義表的元素可以是原子項，也可以是子表，子表的元素又可以是子表， …。即廣義表是一個多層次的結構。表5-2中的廣義表D的圖形表示5-12所示。
廣義表可以被其它廣義表所共用，也可以共用其它廣義表。廣義表共用其它廣義表時不必列出子表的值，而是通過表名引用。如：D=(A,B,C)
廣義表本身可以是一個遞迴表。如:E=(a,E)
根據對錶頭、表尾的定義，任何一個非空廣義表的表頭可以是原子，也可以是子表， 而表尾必定是廣義表。

廣義表的儲存結構

由於廣義表中的資料元素具有不同的結構，通常用鏈式儲存結構表示，每個資料元素用一個結點表示。因此，廣義表中就有兩類結點：
◆ 一類是表結點，用來表示廣義表項，由標誌域，表頭指標域，表尾指標域組成;
◆ 另一類是原子結點，用來表示原子項，由標誌域，原子的範圍組成。5-13所示。
只要廣義表非空，都是由表頭和表尾組成。即一個確定的表頭和表尾就唯一確定一個廣義表。

相應的資料結構定義如下：typedef struct GLNode{  int   tag ;     /*  標誌域，為1：表結點;為0 ：原子結點  */union{  Atomtype atom;     /* 原子結點的範圍  */struct    {  struct GLNode  *hp , *tp ;     }ptr ;   /*  ptr和atom兩成員共用  */}Gdata ; } GLNode ;      /* 廣義表結點類型  */