資料結構，資料結構與演算法

資料結構，資料結構與演算法
線性表

 線性表是一種典型的線性結構。其基本特點是線性表中的資料元素是有序且是有限的。在這種結構中：

① 存在一個唯一的被稱為“第一個”的資料元素；
② 存在一個唯一的被稱為“最後一個”的資料元素；
③ 除第一個元素外，每個元素均有唯一一個直接前驅；
④ 除最後一個元素外，每個元素均有唯一一個直接後繼。

   線性表(Linear List) ：是由n(n≧0)個資料元素(結點)a1，a2， …an組成的有限序列。該序列中的所有結點具有相同的資料類型。線性表中的資料元素 ai 所代表的具體含義隨具體應用的不同而不同。線上性表的定義中，只不過是一個抽象的表示符號，它可以是一個數字、一個字串或一個記錄。

線性表邏輯結構

◆ 線性表中的結點可以是單值元素(每個元素只有一個資料項目) 。
例1: 26個英文字母組成的字母表：
(A，B，C、…、Z）
例2 ： 某校從1978年到1983年各種型號的電腦擁有量的變化情況，用線性表的形式給出：
(6，17，28，50，92，188）
例3 ： 一副撲克的點數
(2，3，4，…，J，Q，K，A)

線性表中的資料元素是各種各樣的，但同一線性表必定具有相同的特性，即屬同一資料對象。相鄰資料元素之間存在序偶關係。將非空的線性表記作：
(a1，a2，…an)
a1 （無前驅）稱為線性表的第一個(首)結點，
an （無後繼）稱為線性表的最後一個(尾)結點。
當n=0時，稱為空白表。
a1，a2，…ai-1都是ai(2 ≤ i ≤ n)的前驅，其中ai-1是ai的直接前驅;
ai+1，ai+2，…an都是ai(1≤i ≤ n-1)的後繼，其中ai+1是ai的直接後繼。

線性表的順序儲存結構

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    順序儲存 ：把線性表的結點按邏輯順序依次存放在一組地址連續的儲存單元裡。用這種方法儲存的線性表簡稱順序表。

順序儲存的線性表的特點：
◆ 線性表的邏輯順序與物理順序一致;
◆ 資料元素之間的關係是以元素在電腦內“物理位置相鄰”來體現。
在進階語言(如C語言)環境下：數組具有隨機存取的特性，因此，藉助數組來描述順序表。
除了用數組來儲存線性表的元素之外，順序表還應該有表示線性表的長度屬性，所以用結構類型來定義順序表類型。

#define  OK   1#define  ERROR   -1#define  MAX_SIZE  100typedef  int  Status ;typedef  int  ElemType ; typedef  struct  sqlist{   ElemType  *Elem_array ;int    length;} SqList ;

順序表的基本操作

   順序儲存結構中，很容易實現線性表的一些操作：初始化、賦值、尋找、修改、插入、刪除、求長度等。

以下將對幾種主要的操作進行討論

順序線性表初始化

 Status Init_SqList( SqList *L ) //建立一張名為L的空表{  L->elem_array=( ElemType * )malloc(MAX_SIZE*sizeof( ElemType ) ) ;if ( !L -> elem_array ) return  ERROR ; //如果返回null 指標，則表示分配失敗else {   L->length= 0 ;    return OK ;  }  

順序線性表結點的插入

 線上性表 L= (a1，…a i-1，ai， ai+1，…，an) 中的第i(1≦i≦n+1)個位置上插入一個新結點e，使其成為線性表：  L=(a1，…a i-1，e，ai，ai+1，…，an) 

若i=n+1,則表示將元素插入到表最後位置
實現步驟
(1) 將線性表L中的第i個至第n個結點後移一個位置。
(2) 將結點e插入到結點ai-1之後。
(3) 線性表長度加1。
插入演算法思想
若i=n+1,則將x插入到表尾；

若表長度n<0或插入位置不適當，則輸出錯誤資訊，並返回-1；

當1<=i<=n時，則從表尾開始到第i個依次向後移動一個位置（共需移動n-i+1個資料元素。

最後將e存入L->Elem_array[i]中，表長n增1插入成功，函數傳回值為1。
演算法實現

Status Insert_SqList(Sqlist *L，int i ，ElemType e) {   int j ;if  ( i<1||i>L->length+1)   return  ERROR ;if  (L->length>=MAX_SIZE){    printf(“線性表溢出!\n”);  return  ERROR ;  }for  ( j = L->length-1; j >=i-1; --j )L->Elem_array[j+1]=L->Elem_array[j];/*  i-1位置以後的所有結點後移  */L->Elem_array[ i-1 ]=e;    /*  在第i個位置插入結點  */L->length++ ;return  OK ;  }

   線上性表L中的第i個位置插入新結點，其時間主要耗費在表中結點的移動操作上，因此，可用結點的移動來估計演算法的時間複雜度。

若i=1,需移動全部n個結點（最壞：O(n)）
若i=n+1（在表尾插入）,無需用移動結點。（最好O(1)）
設線上性表L中的第i個元素之前插入結點的機率為Pi，不失一般性，設插入各個位置的機率相等，則Pi=1/(n+1)，而插入時移動結點的次數為n-i+1。

順序線性表結點的刪除

線上性表 L=(a1，…a i-1，ai， ai+1，…，an) 中刪除結點ai(1≦i≦n)，使其成為線性表：       L= (a1，…ai-1，ai+1，…，an)

實現步驟
(1) 將線性表L中的第i+1個至第n個結點依次向前移動一個位置。
(2) 線性表長度減1。
刪除演算法思想
若表長度n<=0或刪除位元置不適當，則輸出錯誤資訊，並返回-1；

若i=n,只需刪除尾結點，不用移動結點；

當1<=i

刪除演算法實現ElemType  Delete_SqList(Sqlist *L，int i){  int  k ;   ElemType  x ;if  (L->length==0){  printf(“線性表L為空白!\n”); return ERROR;  } else if ( i<1||i>L->length ) {  printf(“要刪除的資料元素不存在!\n”) ; return ERROR ; }else  {  x=L->Elem_array[i-1] ;   /*儲存第i個結點的值*/for ( k=i ;  k<=L->length-1 ; k++)       L->Elem_array[k-1]=L->Elem_array[k];             /*  i+1位置以後的所有結點前移  */L->length--;  return (x);}} 

順序線性表的尋找定位刪除

線上性表 L= (a1，a2，…，an) 中刪除值為x的第一個結點。

實現步驟
(1) 線上性表L中尋找值為x的第一個資料元素。
(2) 將從找到的位置至最後一個結點依次向前移動一個位置。
(3) 線性表長度減1。

演算法描述

Status  Locate_Delete_SqList(Sqlist *L，ElemType x)     /*  刪除線性表L中值為x的第一個結點  */{  int  i=0 , k ; while  (i<L->length)      /*尋找值為x的第一個結點*/{   if  (L->Elem_array[i]!=x )  i++ ; else   // 找到！     {  for ( k=i+1; k< L->length; k++)           L->Elem_array[k-1]=L->Elem_array[k];            L->length--;  break ; //跳出while迴圈   }}if  (i>L->length){    printf(“要刪除的資料元素不存在!\n”) ; return ERROR ;  }return  OK;    }

時間複雜度分析

時間主要耗費在資料元素的比較和移動操作上。

首先，線上性表L中尋找值為x的結點是否存在;
其次，若值為x的結點存在，且線上性表L中的位置為i ，則線上性表L中刪除第i個元素。
設線上性表L刪除資料元素機率為Pi，不失一般性，設各個位置是等機率，則Pi=1/n。
◆ 比較的平均次數： Ecompare=∑pi*i (1≦i≦n)
∴ Ecompare=(n+1)/2 。
◆ 刪除時平均移動次數：Edelete=∑pi*(n-i) (1≦i≦n)
∴ Edelete=(n-1)/2 。
平均時間複雜度：Ecompare+Edelete=n ，即為O(n)