DDA演算法和Bresenham演算法

作者：朱金燦
來源：http://blog.csdn.net/clever101/

      DDA演算法和Bresenham演算法是電腦圖形學中繪製直線的兩種常用演算法。本文具體介紹一下DDA演算法和Bresenham演算法實現的具體思路。DDA演算法主要是根據直線公式y = kx + b來推匯出來的，其關鍵之處在於如何設定單位步進，即一個方向的步進為單位步進，另一個方向的步進必然是小於1。演算法的具體思路如下：

1.輸入直線的起點、終點；

2.計算x方向的間距：△X和y方向的間距：△Y。

3. 確定單位步進，取MaxSteps = max（△X，△Y）; 若△X>=△Y，則X方向的步進為單位步進，X方向步進一個單位，Y方向步進△Y/MaxSteps;否則相反。

4. 設定第一個點的像素值

5. 令迴圈初始值為1，迴圈次數為MaxSteps，定義變數x,y，執行以下計算：
a. x增加一個單位步進，y增加一個單位步進
b. 設定位置為（x,y）的像素值

    具體實現代碼如下：

//@brief 浮點數轉整數的宏<br />#define FloatToInteger(fNum) ((fNum>0)?static_cast<int>(fNum+0.5):static_cast<int>(fNum-0.5))<br />/*!<br />* @brief DDA畫線函數<br />*<br />* @param pDC [in]視窗DC<br />* @param BeginPt [in]直線起點<br />* @param EndPt [in]直線終點<br />* @param LineCor [in]直線顏色<br />* @return 無<br />*/<br />void CDrawMsg::DDA_DrawLine(CDC *pDC,CPoint &BeginPt,CPoint &EndPt,COLORREF LineCor)<br />{<br />long YDis = (EndPt.y - BeginPt.y);<br />long XDis = (EndPt.x-BeginPt.x);<br />long MaxStep = max(abs(XDis),abs(YDis)); // 步進的步數<br />float fXUnitLen = 1.0f; // X方向的單位步進<br />float fYUnitLen = 1.0f; // Y方向的單位步進<br />fYUnitLen = static_cast<float>(YDis)/static_cast<float>(MaxStep);<br />fXUnitLen = static_cast<float>(XDis)/static_cast<float>(MaxStep);<br />// 設定起點像素顏色<br />pDC->SetPixel(BeginPt.x,BeginPt.y,LineCor);<br />float x = static_cast<float>(BeginPt.x);<br />float y = static_cast<float>(BeginPt.y);<br />// 迴圈步進<br />for (long i = 1;i<=MaxStep;i++)<br />{<br />x = x + fXUnitLen;<br />y = y + fYUnitLen;<br />pDC->SetPixel(FloatToInteger(x),FloatToInteger(y),LineCor);<br />}<br />}<br />

     
Bresenham演算法是DDA演算法畫線演算法的一種改進演算法。本質上它也是採取了步進的思想。不過它比DDA演算法作了最佳化，避免了步進時浮點數運算，同時為選取符合直線方程的點提供了一個好思路。首先通過直線的斜率確定了在x方向進行單位步進還是y方向進行單位步進：當斜率k的絕對值|k|<1時，在x方向進行單位步進；當斜率k的絕對值|k|>1時，在y方向進行單位步進。

下面以|k|<1時推導Bresenham演算法的數學依據：

    請看，已知有一直線y = kx+b，|k|<1。我們通過斜率確定了x方向為單位步進。當x = Xm時，y = Ym。那麼當x 執行一個單位步進時（即x = Xm+1時）,y等於Ym還是等於Ym+1更符合這個直線方程呢？單憑肉眼我們很難得出結論，最好的辦法當然是比較Ym和Ym+1和真實的方程的y值的差是多少（即Yreal = k*(Xm+1)+b），看看哪一個更靠近真實的方程的y值。

我們設
Dupper = Ym+1 - Yreal = Ym+1 - k*(Xm+1)+b）; 表示Ym+1和方程真實值的差

Ddown = Yreal - Ym = k*(Xm+1)+b）- Ym; 表示Ym和方程真實值的差

那就是我們要比較Dupper和Ddown的大小。假設
Diff = Dupper - Ddown = （Ym+1 - k*(Xm+1)+b）） - （k*(Xm+1)+b）- Ym）
令△X 為線段x方向的間距，△Y 為線段y方向的間距。
Pm = △X* Diff = 2*△X* Ym-2*△Y* Xm-2*△Y-△X*（2b-1）；
那麼Pm+1 = Pm+2*△X*（Ym+1- Ym）-2*△Y；
其中Ym+1- Ym取0還是1，取決於Pm的符號。

根據等式Diff = Dupper - Ddown = （Ym+1 - k*(Xm+1)+b）） - （k*(Xm+1)+b）- Ym）以及k = △Y/△X，我們可以得出起始像素（x0,y0）的參數p0的值：
P0 =△X-2*△Y；

同理我們推出|k|>1的情況，Qm = 2*Xm*△Y-2*Ym*△X+（2b-2）*△X+△Y；
Qm+1 = Qm+2*（Xm+1-Xm）*△Y-2*△X；

其中Xm+1-Xm等於0還是1，取決於Qm的符號

其中第一個參數Q0 = △Y-2*△X；

    明白了數學原理，我們很快能確定演算法步驟：

1.輸入線段的起點和終點。

2. 判斷線段的斜率是否存在（即起點和終點的x座標是否相同），若相同，即斜率不存在，
只需計算y方向的單位步進（△Y+1次），x方向的座標保持不變即可繪製直線。

3. 計算線段的斜率k，分為下面幾種情況處理

a. k等於0，即線段平行於x軸，即程式只需計算x方向的單位步進，y方向的值不變

b. |k|等於1，即線段的x方向的單位步進和y方向的單位步進一樣，皆為1。直接迴圈△X次計算x和y座標。

4. 根據輸入的起點和終點的x、y座標值的大小決定x方向和y方向的單位步進是1還是-1

6. 畫出第一個點。

7. 若|k| <1，設m =0,計算P0，如果Pm>0，下一個要繪製的點為（Xm+單位步進，Ym），
Pm+1 = Pm -2*△Y;
否則要繪製的點為（Xm+單位步進，Ym+單位步進）
Pm+1 = Pm+2*△X-2*△Y；

8. 重複執行第七步△X-1次；

9. 若|k| >1，設m =0,計算Q0，如果Qm>0，下一個要繪製的點為（Xm，Ym+單位步進），
Pm+1 = Pm -2*△X;
否則要繪製的點為（Xm+單位步進，Ym+單位步進）
Pm+1 = Pm+2*△Y-2*△X；

10. 重複執行第9步△Y-1次；

參考文獻：

     1. 電腦圖形學，作者: (美國)Donald Hearn(美國)M.Pauline Baker 譯者: 蔡士傑，宋繼強，蔡敏