深入理解卡特蘭數及其應用_C 語言

Catalan number，卡特蘭數又稱卡塔蘭數，是組合數學中一個常出現在各種計數問題中出現的數列。以比利時的數學家歐仁·查理·卡塔蘭 (1814–1894)命名。

令h(0)=1,h(1)=1，catalan數滿足遞推式：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

catalan數公式的一般是形式為：

                                                         

遞推關係：

它也滿足

 
這提供了一個更快速的方法來計算卡塔蘭數。

卡特蘭數的應用n個元素順序入棧，出棧順序有多少種？此問題是一個卡特蘭數問題，證明過程如下：

令1表示進棧，0表示出棧，則可轉化為求一個2n位、含n個1、n個0的位元，滿足從左往右掃描到任意一位時，經過的0數不多於1數。顯然含n個1、n個0的2n位位元共有個，下面考慮不滿足要求的數目。

考慮一個含n個1、n個0的2n位位元，掃描到第2m+1位上時有m+1個0和m個1（容易證明一定存在這樣的情況），則後面的0-1排列中必有n-m個1和n-m-1個0。將2m+2及其以後的部分0變成1、1變成0，則對應一個n+1個0和n-1個1的位元。

反過來，任何一個由n+1個0和n-1個1組成的2n位位元，由於0的個數多2個，2n為偶數，故必在某一個奇數位上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面部分0和1互換，使之成為由n個0和n個1組成的2n位元，即n+1個0和n-1個1組成的2n位元必對應一個不符合要求的數。
因而不合要求的2n位元與n+1個0，n－1個1組成的排列一一對應。 顯然，不符合要求的方案數為c(2n,n+1)。

從而。證畢。

括弧化問題   如，矩陣鏈乘： P=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括弧表示成對的乘積，試問有幾種括弧化的方案？(h(n)種)

出棧次序問題 　　
1、一個棧(無窮大)的進棧序列為1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列?
2、有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)。

將多邊行劃分為三角形問題 　　
1、將一個凸多邊形地區分成三角形地區的方法數?
2、一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？
3、在圓上選擇2n個點,將這些點成對串連起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?

給頂節點群組成二叉樹的問題　　給定N個節點，能構成多少種不同的二叉樹？

一些筆試題
1、16個人按順序去買燒餅，其中8個人每人身上只有一張5塊錢，另外8個人每人身上只有一張10塊錢。燒餅5塊一個，開始時燒餅店老闆身上沒有錢。16個顧客互相不通氣，每人只買一個。問這16個人共有多少種排列方法能避免找不開錢的情況出現。
h(8)=16!/(8!*9!)=1430，所以總數=h(8)*8！*8！=16!/9
2、在圖書館一共6個人在排隊，3個還《面試寶典》一書，3個在借《面試寶典》一書，圖書館此時沒有了面試寶典了，求他們排隊的總數？
h(3)=6!/(3!*4!)=5，所以總數=h(3)*3!*3!=180