設計(26) 《PASCAL定理》軟體設計

設計(26) 《PASCAL定理》軟體設計

帕斯卡定理

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及其對400多個特例的驗證

0. 這是VOPT軟體封面, 但出現僅僅一瞬間即自動消去

0.以上是封面消失後見到螢幕式菜單，其作用和頂部菜單條菜單一樣，但加了功能注釋，在注釋後加“....”的表示點擊後都有popup（下拉）菜單彈出。

 0b  就是點擊螢幕上的 C:六邊形菜單後彈出的一個下拉式功能表。

1. 以上是概述, 介紹Pascal定理和本軟體（Pascal定理驗證軟體）的功能。定理的證明請參考Lehmer書第4章第60-70節, 或點擊菜單 定理|射影幾何綜合法證明，這是綜合法證明，解析法證明亦可點擊 定理|解析射影幾何法證明，或見本網頁最下面（圖14-2）

2. 以上介紹PASCAL定理所涉及的各種圓錐曲線，包括退化的與不退化的圓錐曲線在內共五種。五種曲線上均已選好6點，將用作六邊形的頂點。.【注】 在圓錐曲線上選點可以任意，不影響定理的有效性，我在後面也能讓讀者自選頂點，但自選頂點通常都使圖形品質變差（不對稱）。3-0. 以上畫面由點擊6邊形下拉式功能表第1項得到，介紹多邊形的一般概念，以及與PASCAL定理相關的六邊形或多邊形的一些例子，6圖7圖8。
【注】為了方便，下面把圖7圖8類似圖形也稱六點或六邊形，即把k-重點算作k個點，把k-重切線看成k條邊。.3-1. 以上詳細介紹神秘的PASCAL六邊形或多邊形以及它們的命名法（編碼法），如123456,123465,135246，等等

3-2. 以上是由6個數字1...6形成的720種排列（字典順序），每一種排列首尾相接就可形成一個PASCAL六邊形，但其中大量是等價的

3-3. 以上是60種不等價的PASCAL六邊形，它們都由1,2,3,4,5,6相同的六點組成，但排序不同：從123456直到154326。這裡值得注意，這60個六邊形並非由上720個排列中的最前面的60個排列所形成，必須通過1-1檢測才能得到它們，例如，720個排列中第36個為134652，第18個排列為125643，它們只是順時針與逆時針之間的差別，作為迴路實際是等價的，故二者之中只能選擇一個。

3-4a. 以上是把上面60個圖的前30個進行放大顯示。

【注意】手繪多邊形通常是以它們頂點的名稱來命名，如以A,B,C三點為頂點的三邊形就叫ABC三邊形（或ABC三角形）。但點的讀出必須依次進行，至於哪一個為首，以及順時針還是逆時針，都可隨便。這種約定使每個N邊多邊形有2N種叫法。例如三邊形ABC有2x3=6種讀法，你可叫它ABC，也可叫它CAB, BCA, ...等；上面圖中的每個6邊形有2x6=12種叫法，如第一個圖：123456，可以叫123456，但也可叫234561,
345612, 456123, 561234, 612345，或將6點逆時針地讀出來，即稱作543216, 432165, 321654, 216543, 165432。這12個順序的叫法都有權代表圖1-123456這個六邊形。具有相同頂點的多邊形所謂不同，就是它們的頂點的排列次序不同，2-123465與圖1-123456不同，這二者的差別不是順逆次序不同或起始點不同。

3-4b. 以上是把上面60個圖的後30個進行放大顯示

3-5. 以上考察6個字的193種不同的分劃方式（等價類別），並從中找出可以形成PASCAL六邊形的8個類，包括退化六邊形在內。

3-6.以上是PASCAL六邊形六個點的分布的8個不等價類別的圖形表示3-7.以上是考察區分PASCAL六邊形所需的各種參數（舉例說明）

3-8.以上討論了PASCAL多邊形與完全多邊形的關係4.以上是內接在橢圓的60個PASCAL六邊形,點擊其中任意一個,就可進入統一的驗證程式（如後面圖VP1所示）,對該圖進行PASCAL定理的驗證。5.以上是內接在雙曲線的60個PASCAL六邊形.點擊其中任意一個,就可進入統一的驗證程式,對它進行PASCAL定理的驗證

6.以上是內接在拋物線的60個PASCAL六邊形.點擊其中任意一個,就可進入統一的驗證程式,對它進行PASCAL定理的驗證

7.以上是6點分布在2條相交直線上的60個PASCAL六邊形。點擊其中任意一個,就可進入統一的驗證程式,對它進行PASCAL定理的驗證

8.以上是6點分布在2條平行直線上的60個PASCAL六邊形。點擊其中任意一個,就可進入統一的驗證程式,對它進行PASCAL定理的驗證

9-1.以上是全部12種不同的五邊形，不含重合點9-2.以上介紹五邊形的產生，對五邊形應用PASCAL定理需要把其中一點看成2重點，總共湊成6點。2重點中的兩個點相連，就是該點的切線

9-3.以上介紹12種五邊形內接在5種圓錐曲線形成的60種PASCAL六邊形。點擊其中任意一個,就可對它進行PASCAL定理的驗證

10-1.以上說明不同四邊形只有3種，但加入不同的重點後可形成9種PASCAL六邊形，再應用於5種圓錐曲線，共有45種不同特例。

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10.2. 45種不同四邊形。到此我們已得到5*60個六邊形，60個五邊形，45個四邊形，總共已有405個Pascal定理適用的多邊形。

11. 最後考察三邊形，三邊形只有1種，但6點重合方式有3種，並可應用於5種曲線類型，所以共有15種Pascal定理適用的多邊形，不再細說。

這樣，我們將各種多邊形加起來一共已有了420個（但三邊形15個僅畫內接於橢圓和拋物線上的6個，所以畫出的實際為411個），它們可以帶或不帶重點，若將k-重點看成k個點，切線看做邊，它們都變成六邊形：退化和不退化的Pascal六邊形，從而可以對其進行Pascal定理的驗證。

下面轉來考察如何對上面所列的400多種多邊形（包括六邊、五邊、四邊、三邊）統一進行PASCAL定理的驗證。

VP1.以上為PASCAL定理統一驗證程式的畫面。它能對上面所列的手繪多邊形進行驗證，

驗證過程可以按菜單從左至右次序一步一步地步進式進行，也可以全自動地一步完成。

【注】 本表單（Form2）是點選前面圖4~11中某多邊形後自動彈出的，無法獨立調用。

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VP2.以上是對（即圖4第13六邊形）作PACAL定理驗證的結果,3組對邊交點L,M,N在一直線上。其中點M為23與56兩個平行邊之交點在無窮遠，實際無法畫出來，因這兩邊與LN也平行，即此無窮遠點也LN的交點，如左上方說明。
【注】只要交點M在LN延長線上，在無窮遠是允許的，因為這是射影空間的定理。而且還應注意，在無窮遠的交點可以是1個也可以是2個或3個。也就是說，有限點不是3個，而只有2個、1個或0個的情況都允許出現。。VP3. 以上為對圖4中編號為136425的六邊形的驗證結果，顯示3組對邊交點L,M,N也在一直線上。VP4.以上對圖4編號為134625的六邊形作PASCAL定理驗證，L,M,N在一直線上，但N為ML方向的無窮遠點

。VP5.以上為對圖4中編號為123456的六邊形的PASCAL定理驗證，L,M,N在一直線上，但三點都在無窮遠。

VP6.以上是對圖5中雙曲線上123564六邊形作PASCAL定理驗證，L,M,N在一直線上

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VP7.以上是對雙曲線上123465六邊形的PASCAL定理驗證。L,M,N在一直線上，
其中M(23-56交點)是LN方向的無窮遠點，無法畫出來

。。VP8.以上是對拋物上125634六邊形的PASCAL定理驗證。L,M,N在一直線上，
M（23-56交點）是LN方向的無窮遠點。VP9.以上是對相交直線上125463六邊形的PASCAL定理驗證。L,M,N在一直線上。VP10.以上是對平行線上125436六點構成的六邊形的PASCAL定理的驗證。L,M,N在一直線上。.VP11a.以上對圖9.3中五邊形12534作Pascal定理分步驗證.已求出L,M,N（N在螢幕外）但未連線。
因其中1點和6點重合在一起構成一個2-重點，故1點與6點的連線是該2-重點的切線。

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VP11b.以上對的五邊形12534作Pascal定理全自動驗證.求出對邊交點L,M,N後並又作了連線其中12與45的交點L在(-1282,2941),雖然不是無窮遠點，但離開螢幕已經很遠很遠。

互動形式的驗證不再舉例。下面介紹Pascal定理的自動批量驗證。12-4.0. 以上是Pascal 定理自動示範程式-1（封面）。類似程式共有3個，分別對內接於橢圓、雙曲線、拋物線的60個六邊形進行自動1-1驗證

12-4.1.以上是進入Pascal定理自動示範程式（一）後所見的一個畫面，紅線為PASCAL線

12-4.2.以上是進入Pascal定理自動示範程式（一）所見的另一個畫面，紅線為PASCAL線

12-4.3. 以上是進入Pascal定理自動示範程式（一）所見的又一個畫面，類似地一共有60個畫面

12-4.4. 以上是用 Pascal 定理自動示範程式（一）將內接於橢圓的所有60個六邊形的Pascal 線疊加在一起顯示

12-5.1. 以上是進入Pascal定理自動示範程式（二）所見的一個畫面，類似地可對60個內接於雙曲線的六邊形進行自動驗證

12-5.2. 以上是用 Pascal 定理自動示範程式（二）將雙曲線上的六邊形的60條Pascal 線疊加在一起顯示

12-6.1. 以上是用 Pascal 定理自動示範程式（三）將拋物線上60個六邊形的Pascal 線疊加在一起顯示

以下進一步討論和60條PASCAL線有關的點、線和定理。

13-7. 另一獨立程式。是點擊右邊60 Pascal Ln按鈕所得。它也畫出了內接於園內基本六邊形的60條Pascal線。此圖叫PascalHexagrammum
Mysticum （Pascal六角迷魂圖），可從內接於任意圓錐線的任意6點產生。與此圖相關有很多重要概念，包括：Steiner點, Pluker線, Kirkman點, Cayley線, Salmon點。這些點與線的關係可參看

（以形若因外框限制被縮小，不清晰，請用滑鼠點擊以形，可以放大為1:1的原始大小來清晰顯示）.本圖右半邊，從上到下，由6點出發，依次引出15條邊（旁邊和下面所注紅黑數字 6, 5,2代表： 6個點，每點和其餘 5點相連， 6* 5=30邊，但要 2點形成1邊，邊數被重複計算，所以6*5後要除 2，得到15，才是邊的數目。其餘意義相同）,
45個對邊交點（edge meet）, 60條Pascal線, 然後分支出20個Steiner點 和 15條Pluker線, 或者. 60個Kirkman點, 20條Cayley線, 15個Salmon點。圖的左半邊的線和點 是右半邊的點或線的對偶. 例如左邊60個Brianchon點是右邊60條Pascal線的對偶。要弄清這些點線的 概念和相互關係不容易,還有許多定理要瞭解。可參看網站http://www.paideiaschool.org/teacherpages/steve_sigur/resources/pascal2/index.html

下面來考察Steiner定理和15個Steiner點，從60條Pascal線到15個Steiner點，中間要經過15個edge和45個edgemeet兩步。

13.8a.以上是譯者為考察上述點線關係開發的軟體。這裡介紹Steiner定理及其驗證。Steiner定理說：60條Pascal線分20組、每三條交於一Steiner點。底下一行的20個按鈕代表要找的Steiner點。點擊其中任意按鈕在左表中就會查到三個二位元編碼,
根據這三個編碼可從頂部表中找出三個六邊形, 然後在右邊三圖分別畫出這些六邊形及對應的Pascal線, 最後在中間的大圖中將三個六邊形和三條線疊加在一起, 並證明三線交於一點, 此即Steiner點。60條Pascal線如何劃分20組請看下一頁的說明, 定理證明請看http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PascalLines.shtml#Explanation

13.8b.以上是Steiner定理用到的20個三數組的劃分方法（詳細步驟說明）,每一組對應於三條Pascal線並相交於一個Steiner點.

13c. 一個專用於Steiner定理驗證的簡單軟體。用法及圖形的意義見圖上部中間一欄的說明。

其餘點線不再討論。下面轉來討論二次曲線作圖問題，包括利用或不利用Pascal定理在內。13-0. 以上是圓錐曲線作圖法的分類，以及一些具體的作圖問題例子，下面將具體介紹兩個。

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13-9.以上是用左上、右下2點互動製作標準型圓錐曲線的程式。其中2條直線（平行或交叉）是代表退化的圓錐曲線

13-10.PASCAL定理重要應用就是作圖。以上是接應用PASCAL定理任選五點直接製作的兩種圓錐曲線（見Lehmer書上74節）。這些曲線不夠光滑，需要改進，一種改進法就是間接作圖，即根據5點座標用Gauss消元法求出圓錐曲線方程，然後就可以像前面畫標準圓錐曲線那樣，逐點畫出非常精細的曲線。中除了曲線上的 1-5 五點之外，還有兩個標有字母 L 的點，它們分別在所作橢圓和雙曲線曲線之下，是作圖需要的輔助點，詳細不再進一步解釋。

下面我們轉入Pascal定理證明的討論。14-2. PASCAL定理證明方法很多,除了書上的射影幾何證明方法外,還可以用初等幾何法或解析法證明。初等幾何證明法網上可以搜到很多,但證明過程都很繁瑣,我們這裡不再介紹。上面圖中給出的是解析法證明，可以看出，過程很簡單，但理解也不容易。另外只是就圓來證明的，一般二次曲線的證明還應利用圓和二次曲線可以射影對應的事實。
【注1】本證明參照網頁http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PascalLines.shtml#Explanation翻譯得到,，插圖為譯者所加。
【注2】射影幾何證明方法Lehmer 的書上就是，我們這裡不再重複，但其實也應補充說明2點：任何二次曲線的證明 可以射影對應和任何二次曲線上對任何Pascal六邊形的Pascal定理的證明也 可以射影對應的兩事個實，這樣才會使讀者看了以後感到踏實。前一證明可以參考Lehmer
書的中譯本，後一證明可以參考Cremona的書。

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